|
|
Николай Орем |
|
- |
БИБЛИОТЕКА ХРОНОСА |
БИБЛИОТЕКАА: Айзатуллин, Аксаков, Алданов...Б: Бажанов, Базарный, Базили...В: Васильев, Введенский, Вернадский...Г: Гавриил, Галактионова, Ганин, Гапон...Д: Давыдов, Дан, Данилевский, Дебольский...Е, Ё: Елизарова, Ермолов, Ермушин...Ж: Жид, Жуков, Журавель...З: Зазубрин, Зензинов, Земсков...И: Иванов, Иванов-Разумник, Иванюк, Ильин...К: Карамзин, Кара-Мурза, Караулов...Л: Лев Диакон, Левицкий, Ленин...М: Мавродин, Майорова, Макаров...Н: Нагорный Карабах..., Назимова, Несмелов, Нестор...О: Оболенский, Овсянников, Ортега-и-Гассет, Оруэлл...П: Павлов, Панова, Пахомкина...Р: Радек, Рассел, Рассоха...С: Савельев, Савинков, Сахаров, Север...Т: Тарасов, Тарнава, Тартаковский, Татищев...У: Уваров, Усманов, Успенский, Устрялов, Уткин...Ф: Федоров, Фейхтвангер, Финкер, Флоренский...Х: Хилльгрубер, Хлобустов, Хрущев...Ц: Царегородцев, Церетели, Цеткин, Цундел...Ч: Чемберлен, Чернов, Чижов...Ш, Щ: Шамбаров, Шаповлов, Швед...Э: Энгельс...Ю: Юнгер, Юсупов...Я: Яковлев, Якуб, Яременко...Родственные проекты:ХРОНОСФОРУМИЗМЫДО 1917 ГОДАРУССКОЕ ПОЛЕДОКУМЕНТЫ XX ВЕКАПОНЯТИЯ И КАТЕГОРИИ |
Николай ОремО соизмеримости или несоизмеримости движения неба
Часть перваяСенека утверждает, что Зенон и Хрисипп сделали большее, чем если бы они руководили войсками, стяжали почести, обнародовали законы не для одного лишь государства, но для всего рода человеческого. Ведь если прекрасно – совершать военные подвиги, издавать новые законы, разве не заслуживают гораздо большей похвалы те, кто со смелостью, превышающей смелость Геркулеса, дерзнули приблизиться к вышнему кругу и осмелились зорким умом подняться до неба, впервые возвещая смертным его вечные предначертания, постигать которые нет ничего лучше, ничего отраднее[1]1). Ведь что более радует дух и что более возвышает ум к божественному, как не созерцание сладостной музыки неба, исчисление сияющего хоровода звезд и планет, движущегося в ритмах, пленительных по своему сменяющемуся разнообразию[i][1]. Махина вселенной, подвластная божеству, управляется силою этого небесного воинства, в своем быстрейшем и спокойном беге неустанно простирающего в некоей равномерной неоднородности изящное различие движений для изощрения ума человеческого, – зрелище, которого, по слову Туллия, «нет ничего восхитительнее, ничего прекраснее»[2]2). «Нет картины, – говорит он, – более приковывающей, более прекрасной, более отвечающей дарованию и совершенствованию людей[3]3). И опять {19} он же: «Природа изначала создала людей высокими, стройными и выпрямленными, дабы могли они познавать богов, взирая на небо» и т. д.[4]1). Вот почему и Сенека говорит[5]2): «Если хочешь убедиться, что природа хотела быть не только зримой, но и созерцаемой, посмотри, какой закон она дала нам. Она поместила нас в срединной своей части и дала нам возможность обозревать вселенную. И не только выпрямила человека, но и для того, чтобы мог он следить за звездами, скользящими от востока к закату, поворачивая кругом свое лицо, высоко вознесла его голову, расположив ее на гибкой шее». Так говорит Сенека. Достаточно человеку взглянуть в восхищении на небосвод, – сколь удивительной быстротой управляется вращение сферы, сколь мудрым порядком держится неизменное постоянство небес, и как прекрасно чреда лет предстает обновляющейся в постоянных движениях! И хотя бы их соотношение и пропорция и оставались скрытыми на вечные времена и ни одно из них не могло бы быть постигнуто тонкостью мысли и человеческими стараниями, тем не менее, эта невозможность не рождает уныния в душах, преисполненных рвения и страсти, и не заставляет их обратиться вспять. Ведь то, что мы способны из этого постичь, освежает ум, рождает желание и возбуждает к дальнейшему исследованию, устремляя ввысь сердца смертных неким приятным понуждением. Оттого и говорит Туллий: «Прочее движется все быстрейшим небесным движеньем, Ибо и ночи и дни вместе с небом начало имеют. И преисполниться или пресытиться созерцанием этого не может дух того, кто жадно стремится узреть постоянство природы»[6]3). Дабы, следовательно, настойчиво стремящиеся к столь благородному занятию не отступили перед непосильными трудностями, или, обуреваемые дерзкой смелостью, не обманули себя и других, возомнив о себе, будто они ведают о движениях звезд и планет то, что недоступно знанию чело- {20} -веческому, я сочинил эту книжечку о соизмеримости движений неба, в которой сначала выписал кое-что из других математических книг в качестве исходных положений, а затем вывел из них заключения. Некоторые немногие из последних, после того как написал их, я нашел в других местах, но еще не видел, чтобы кто-нибудь другой изложил наиболее важные из них. Посему я не смел откладывать вручение этого небольшого труда товарищам и магистрам нашего священнейшего парижского университета для исправления, ибо у них в обычае принимать без всякой зависти, с почтением, все хорошо сказанное, а менее хорошо составленное исправлять благожелательно. Простое число есть такое, которое не счисляется никакими другими, кроме единицы, например, 5 или 7. Всякое другое называется составным, например, 4 или 9. Простые друг в отношении друга числа или несовместимые (incomminicantes) или еще иначе наименьшие в данном отношении или в данной пропорции, суть те, которые не имеют никакой общей меры, кроме единицы, и не имеют какого-нибудь общего обоим числа, например 4 и 9. Те же, которые измеряются каким-нибудь определенным числом, называются совместимыми (communicantes), например 9 и 12, которые оба измеряются тройкой. И так же обстоит дело, если чисел три или больше[ii][2]. Пропорция (proportionalitas) есть подобие отношений (proportionum). Пропорции называются несовместимыми, когда нет двух совместимых чисел, из которых одно принадлежало бы одной пропорции, а другое – другой; таковы, например, пропорция, соответствующая отношению 2 к 1, т. е. 1, 2, 4, 8 и т. д., и пропорция, соответствующая отношению 3 к 1, т. е. 1, 3, 9, 27 и т. д. Совместимыми же являются те пропорции, в которых какое-нибудь число одной пропорции является совместимым с числом другого. Таковы, например, пропорция, соответствующая отношению 2 к 1, и пропорция, соответствующая отношению 4 к 1. Величины называются соизмеримыми, если они имеют какую-нибудь общую меру, или отношение которых соответствует отношению числа к числу, например, если одна равна 2 футам, а другая 3 футам. Несоизмеримые величины {21} это те, у которых нет общей меры и отношение которых не соответствует отношению между числами; таковы, напри мер, диагональ и сторона квадрата, отношение которых равно половине отношения 2 к 1, находимое только в непрерывных величинах, но не в числах [т. е. отношение √2 : 1]. Соизмеримость и несоизмеримость движений (круговых) мы определяем либо по величине углов, описанных вокруг центра или центров[iii][3], либо по числу оборотов, так, что обладают соизмеримыми движениями те тела, которые либо в равные времена описывают соизмеримые углы или окружность, либо те, которые совершают или заканчивают свои обороты в соизмеримые времена. А несоизмеримыми движениями являются те, которые заканчиваются в несоизмеримые времена и на протяжении которых описываются за равные промежутки времени несоизмеримые центральные углы. Соответственно такого рода мере определяются и имеют место конъюнкции, противостояния и прочие аспекты, и все движения, которые усматриваются астрономами на небе, ибо отношение скоростей, соответствующее отношению дуг, пройденных движущимися телами, в данном случае не имеет значения, – принимают ли их такими или же иными. Несоизмеримость может встретиться в любом роде континуумов и в том, в чем воображают непрерывность, как в смысле экстенсивном, так и в интенсивном. Ибо величина несоизмерима величине, угол – углу, движение – движению, скорость – скорости, время – времени, отношение – отношению, градус – градусу, звук – звуку и т. п. Оборотом (circulatio) я называю обратный приход тела, движущегося по кругу, из какой-нибудь точки в ту же самую. Циклом (revolutio) – возвращение нескольких движущихся тел от одного расположения к расположению совершенно сходному[iv][4]. Намерение наше в этой книжке говорить о совершенно определенных и точных конъюнкциях или аспектах тел, движущихся по кругам, а не об аспектах приблизительных, которые обычно имеют в виду астрономы, заботящиеся лишь о том, чтобы не было ощутительной погрешности, хотя незначительная неощутимая ошибка, будучи умноже- {22} -на на время, и создает погрешность заметную. Стало быть, здесь под конъюнкцией каких-либо движущихся тел я понимаю случай, когда центры их оказываются на одной линии, выходящей из центра мира. Тогда имеет место конъюнкция тел в той же плоскости, т. е. на том же круге, проходящем либо через полюсы мира (т. е. на том же меридиане), либо через полюсы зодиакального круга. Ведь возможно, что две планеты окажутся в первой точке (или линии) Овна и, тем не менее, не будут находиться на том же меридиане. Я предполагаю также, что движения небесных тел неодинаковы по скорости и только о них и идет речь, и что любое из движений непрерывно, постоянно и равномерно, хотя из нескольких равномерных движений иногда и получается движение неравномерное. Речь притом будет идти о движениях, совершающихся в одну сторону, ибо об остальных можно легко судить на основании того, что будет сказано. И, кроме того, – о движениях, как если бы они были концентричными, ибо этого достаточно для решения основной задачи (позднее также будет видно, в чем разница). А поскольку по необходимости либо все небесные движения соизмеримы друг с другом, либо некоторые из них друг с другом несоизмеримы, постольку в первой части настоящего труда будет выяснено, что именно вытекает, если они соизмеримы, во второй – что вытекает, если они несоизмеримы, в третьей же будет исследован поставленный вопрос, а именно, соизмеримы или нет эти движения. Итак, сначала пусть все движения будут соизмеримыми. [Заключение 1-е]. Если имеется сколь угодно много чисел, расположенных в непрерывной пропорции, начиная с единицы, ни одно из них не счисляется иным простым числом, кроме того или тех (если таковые имеются), которые счисляют число, непосредственно следующее за первым в указанной пропорции. Доказывается на основании 11-го положения IX книги Евклида[v][5], которое гласит: «Если при расположении сколь угодно многих чисел в непрерывной пропорции, начиная с единицы, какое-либо простое число счисляет последний член, то по необходимости оно должно счислять и то, которое следует за единицей». Итак, пусть после единицы непрерывно следуют друг за другом a, b, c, d и т. д., и {23} пусть g – какое-то простое число. Тогда, согласно приведенному положению, если g счисляет d, то равным образом g будет счислять a. Стало быть, заключая от отрицания следствия, имеем: если g не счисляет a, то g не будет счислять и d. И аналогично заключаем о любом другом числе данного ряда, равно как и относительно любого другого простого числа. Например, пусть за единицей следуют 6, 36, 216 и т. д. в отношении 6 к 1. Я говорю, стало быть, что ни одно простое число не счисляет какое-либо из них, за исключением тех, которые счисляют 6, т. е. 2 и 3. А, следовательно, и не другое число, кратное другого простого числа, ибо то число, которое счисляет счисляющее, счисляет и счисляемое, т. е. множитель счисляет число, счисляемое произведением, в которое этот множитель входит. [Заключение 2-е]. Если мысленно делить какой-либо континуум на определенное число частей и любую из них настолько же и так до бесконечности, деление не будет приходиться ни в одну точку, в какую оно приходилось бы, если бы континуум был разделяем в другой пропорции, обратное произойдет только в том случае, если числа, непосредственно следующие за единицей в указанных пропорциях, имеют общих множителей. Здесь имеется в виду точка, делящая континуум на две части. Таковой является точка, обозначенная на прямой линии, равно как и обозначенная на линии окружности помимо уже ранее обозначенной, которая делит на две части только в том случае, если привходит эта вторая. Таким образом, заключение справедливо относительно континуума вообще, как прямой линии, так и окружности, при условии, что [в последнем случае] первоначально уже обозначена одна точка, сама по себе еще не производящая деления, – тогда в обоих случаях имеем одно и то же. Пусть, следовательно, a – некий континуум, который надлежит разделить на части, счисляемые числом d, и каждую из них – настолько же, и так далее в непрерывной пропорции. Далее, пусть это a делится на части, счисляемые числом e, и каждая из них – настолько же, и так же далее в непрерывной пропорции. И пусть числа d и e простые друг в отношении друга. Итак, когда a делят соот- {24} -ветственно числу d на равные части, каждая точка подобного сечения делит a на части, обозначаемые каким-нибудь числом, ибо всё а соответствует числу d и любые части всякого числа обозначаются каким-то числом. Но части любого числа обозначаются лишь тем или теми числами, которые счисляют это целое, – или им самим, или каким-либо его делителем, как явствует в достаточной мере из 38-го положения VII книги Евклида. Следовательно, любая точка этого деления рассекает a только на части, обозначаемые числом d или другим числом, счисляющим это d. Таким же способом доказывается, что любая точка, делящая a на части, счисляемые числом e делит это a только на части, обозначаемые числом e или каким-либо числом, которое счисляет это e. Но ни одно число, счисляющее d не счисляет e, ибо положено, что они являются простыми друг в отношении друга. Следовательно, ни одно число, которое обозначает части деления, происходящего соответственно d, не обозначает части деления, происходящего соответственно e. Но те же самые части одного целого имеют одинаковые знаменатели; следовательно, ни одна часть первого деления не есть часть второго деления. Следовательно, ни одна точка, разделяющая соответственно первому делению, не есть точка, разделяющая соответственно второму делению. Следовательно, если какой-либо континуум делится двояко соответственно числам, простым друг в отношении друга, ни одна точка одного деления не есть точка второго деления. Пусть, следовательно, мы имеем две пропорции b и c, в которых числами, непосредственно следующими за единицей, являются d и e. Итак, если b и c имеют общий множитель, например, число g, то, следовательно, число g счисляет некоторые числа в той и другой пропорции, согласно определению пропорций, простых друг в отношении друга. Следовательно, в согласии с предшествующим заключением, g счисляет d и e. Следовательно, если b и c суть пропорции не простые друг в отношении друга, то d и e суть числа не простые друг в отношении друга. Следовательно, заключая от отрицания следствия: если d и e не являются простыми друг в отношении друга, то b и c {25} не будут простыми друг в отношении друга. Следовательно, согласно определению простых друг в в отношении друга пропорций, любое число одной пропорции является простым в отношении любого числа другой пропорции. Но было уже доказано, что сечения, которые производятся соответственно числам простым в отношении друг друга, не совпадают в одной точке. Следовательно, если a делить до бесконечности соответственно одной пропорции, то ни в одной точке не будет совпадения, как было бы, если бы деление до бесконечности происходило соответственно другой пропорции, когда числа, непосредственно следующие в этих пропорциях за единицей, не являются простыми друг в отношении друга. Например, если какой-нибудь континуум делят на 2, затем на 4, далее на 8 и так до бесконечности соответственно отношению 2 к 1, то нигде деление не будет совпадать с тем, куда оно пришлось бы при делении на 3, затем на 9, затем на 27 и т. д., соответственно отношению 3 к 1. Отсюда ясно, что если бы деление так происходило до бесконечности, соответственно отношению 3 к 1 или 2 к 1, ничего не осталось бы неразделенным, и тем не менее можно вообразить бесконечное число точек, в которых никакого деления не происходит. Но если числа двух пропорций, непосредственно следующие за единицей, не будут простыми друг в отношении друга, то тогда будут и общие сечения, производимые соответственно подобного рода пропорциям. Отсюда следует: если континуум делить соответственно отношению 3 к 1, а затем в отношении 6 к 1, будут общие деления и сечения. [Заключение 3-е]. Если делить континуум соответственно физическим дробям[vi][6] сколь угодно далеко, то невозможно отсечь аликвотную[7] часть или аликеотные части (т. е. обозначаемые каким-либо простым числом или кратным простого), кроме 2, 3, 5. Ведь все, что подвергается делению, уподобляется единице, число частей первого деления – 60-ти, число частей второго деления – 3600, число частей третьего деления – 21600 и так непрерывно, в отношении 60 к 1. Число же, непосредственно следующее в указанной пропорции за единицей, т. е. 60, не счисляется никакими другими простыми {26} числами, кроме следующих трех, а именно: 2, 3 и 5. Следовательно, согласно 1-му заключению, никакое другое число той же самой пропорции также не счисляется каким-либо простым числом, кроме указанных трех. Следовательно, согласно предыдущему заключению, ни одно из сечений не является общим с теми, которые имели бы место соответственно какому-либо другому числу, отличному от вышеуказанных. Следовательно, ни одна точка одного сечения не будет точкой другого сечения. Следовательно, деля соответственно отношению 60 к 1, никогда нельзя отсечь отношение, обозначаемое каким-нибудь другим простым числом, отличным от указанных. Следовательно, и никаким другим числом, кратным этого другого простого числа, ибо тогда части, обозначаемые таким кратным числом, повторенные столько раз, сколько раз первое простое число содержится в другом, составляли бы часть, обозначаемую первым простым числом. Например: если бы можно было отсечь 1/14, то поскольку 14 вдвое больше чем 7, можно было бы отсечь и 1/7, ибо две 1/14 составляют 1/7 и т. п. Отсюда явствует, что при делении соответственно физическим дробям, сколько бы ни умножать, никогда нельзя было бы отсечь 1/7 от вещи, делимой указанным образом, а также 1/14 и т. д. Равным образом и не 1/11, 1/22, также и не 1/13, 1/26 и т. п. Ибо тогда какое-то число из пропорции 60 к 1 могло бы быть разделено на 7, на 11, на 13 и т. д., что невозможно согласно 1-му заключению, коль скоро ни одно число не имеет аликвотной части или аликвотных частей, кроме обозначаемых им самим и числом, которое его счисляет. Отсюда ясно, что если какое-либо тело, движущееся по кругу, проходило бы за день определенное число градусов и определенную часть или части градусов, обозначаемые каким-либо простым или сложным числом, кроме 2, 3, 5, никогда его движение не могло бы быть выражено в точности посредством физических дробей, как бы далеко ни продолжать этот процесс. Равным образом – ни место или время, ни конъюнкции этого тела с другим движущимся телом, ни противостояния, ни прочие аспекты вполне точно и определенно. Коль скоро, следовательно, согласно делению таблиц, весь круг соответствует шести единицам, из коих каждая составляет два зодиакальных знака и делится каждая на 60 градусов, каж- {27} -дый градус на 60 минут, каждая минута на 60 секунд, каждая секунда на 60 терций и так непрерывно, шестьдесят же исчисляется только простыми числами 2, 3 и 5, следует, что весь круг никогда не может быть разделен при помощи табличного деления на аликвотные части, обозначаемые каким-нибудь простым числом или кратным какого-нибудь другого простого числа, кроме 2, 3 и 5, и посредством этого деления не может быть отсечена аликвотная часть соответственно другому простому числу, как было сказано. Вот почему, если любой круг неба вообразить разделенным на 17 частей и назвать их знаками, а каждый такой знак на 17 градусов, каждый градус на 17 минут и так непрерывно, в соответствии с этим составив таблицы, то они никогда вполне точно и определенно не согласовались бы с обычными таблицами, которыми мы теперь пользуемся. Точно так же, если бы производилось деление в непрерывной пропорции 61:1 или какого-либо другого простого числа. Стало быть, если движения неба соизмеримы, еще не следует, что они могли бы быть в точности соизмерены по составленным таблицам и приравнены одни к другим, ибо возможно, что одно движущееся тело пройдет за день в точности один градус, а другое – один градус с 1/7 или также за день 1/11 градуса или 1/22 всего круга, или же в соответствии с каким-нибудь другим числом, в соответствии с которым нельзя отсечь какую-нибудь часть при делении, пользуясь обыкновенными таблицами. Впрочем, астрономы, составляя таблицы, не имели в виду такую совершенную точность, ибо полная точность в отношении всех движений неба не может быть достигнута при помощи никаких таблиц, построенных согласно одной только пропорции[vii][7]. А воспользовались они пропорцией 60:1 потому, что пропорция эта наиболее пригодна для их целей. Тем не менее, в настоящей книжке, в которой надлежит говорить более математически, нужно пользоваться дробями совершенно точными, которые называются обыкновенными (vulgares), ибо уже было указано, что иной способ недостаточен для выражения любой скорости с полной точностью и определенностью. {Заключение 4-е]. Если два движущихся тела теперь находятся в конъюнкции, необходимо, чтобы они {28} еще раз находились в конъюнкции в той же точке и всегда в этой части[8]1). Здесь я имею в виду движения соизмеримые. Итак, пусть a и b находятся в конъюнкции в точке, g ибо для нашей цели безразлично, происходит ли конъюнкция в точке, на линии или на поверхности. А так как движения соизмеримы, то согласно 5-му положению X книги Евклида следует, что отношение этих двух движений соответствует отношению двух чисел. Пусть, стало быть, движение тела a соответствует числу c и движение b числу d. Тогда за то же время, за которое a совершает обороты, счисляемые числом c, тело b совершает обороты, счисляемые числом d. Следовательно, в конце указанного времени a совершит некое число полных оборотов, равным образом и b. Следовательно, и то и другое будут тогда там же, где находятся и теперь. Следовательно, тогда они окажутся в конъюнкции в точке, в которой находятся и теперь. Например, скорость a соответствует 5, а скорость b соответствует 3. Следовательно, когда a совершит 5 оборотов, b совершит 3. Следовательно, тогда они будут там же, где теперь. И соответственным же образом аргументируется о прошедшем времени, что они уже были однажды в конъюнкции. [Заключение 5-е]. Найти время первой конъюнкции в той же точке, в которой тела находятся теперь. Пусть, как и раньше, тело a совершает определенное число оборотов, соответствующее числу c, когда b совершает обороты соответственно числу d, и пусть c и d – наименьшие числа данного отношения[viii][8]. Ясно, что a и b никогда не окажутся в конъюнкции в точке, где они находятся теперь, прежде чем то и другое не совершат некоторое число полных оборотов. Это будет тогда, когда a совершит c а b совершит b оборотов, но не раньше; ведь в последнем случае числа оборотов их находились бы в другом отношении, поскольку числа c и d были по условию минимальными, а следовательно, и скорости стояли бы друг к другу в другом отношении, что противоречит условию. Итак, ясно, что тогда впервые {29} тела окажутся вновь там же, где они находятся сейчас, т. е. когда a совершит обороты соответственно числу c, а b аналогично в соответствии с числом d, каковые числа суть наименьшие простые числа пропорции скоростей. Итак, поскольку скорости соизмеримы, существует, следовательно, некое время, которое измеряет обороты их соответственно простым числам пропорции скоростей. Пусть, следовательно, для примера, мы имеем день (ибо в данном случае безразлично, день ли это, час, или год, или иное что) так, что a совершает один оборот за столько-то дней, счисляемых числом меньшим, нежели то число, которое счисляет дни, в течение каковых b совершает один оборот. Но a совершает свои обороты соответственно числу c, прежде чем происходит конъюнкция там, где они находятся сейчас. А b совершает свои обороты в течение дней, счисляемых числом d. Следовательно, при перемножении d и c получается время, когда они впервые вновь оказываются в конъюнкции там, где находятся теперь. Например: пусть a совершает 5 оборотов в то время, когда b совершает 3. Следовательно, ясно, что если они вновь окажутся в конъюнкции там, где находятся теперь, когда b совершит меньшее число оборотов, то скорости будут стоять друг к другу в ином отношении. Ведь никакое число, меньшее трех, не стоит в том же отношении к какому-либо числу, в каком тройка стоит к пятерке. Следовательно, впервые оба тела окажутся вновь в конъюнкции, когда b совершит 3 оборота, а a совершит 5. Равным образом ясно, что скорость a относится к скорости b как 5 к 3. Следовательно, a совершает один оборот за время, которое относится ко времени оборота b как 3 к 5. И таким образом, a совершает один оборот в 3 дня, а b в 5 дней, и по завершении 5 оборотов a вновь происходит конъюнкция. Следовательно, нужно умножить 3 на 5 и получится искомое число дней, т. е. 15. Итак, это время будем называть периодом a и b, каковое время получается перемножением наименьших чисел, входящих в пропорцию скоростей движения. По прошествии этого времени конъюнкции, и все аспекты, и всё, что зависит от упомянутых движений, вновь начинают иметь место совершенно так же, как и раньше. {30} [Заключение 6-е]. Если даны скорости двух движущихся тел, теперь находящихся в конъюнкции, найти время первой следующей конъюнкции. Скорости даны, когда дано их отношение. Итак, пусть, как и раньше, a – быстро движущееся тело, b – медленно движущееся, и движение a соответствует числу c, а движение b числу d. Следовательно, а проходит часть круга с числом d в знаменателе, когда b проходит часть круга с числом c, ибо большая часть счисляется меньшим числом. Но наименьшее число, которое имеет части, соответствующие c и d (т. е. то, которое счисляется посредством c и d), есть то, которое получается умножением c на d, как явствует из 34-го положения VII книги Евклида. Следовательно, нужно разделить круг и обозначить на нем число, которое получается при умножении c на d. Например, в вышеприведенном примере: так как a проходит 1/3 круга, когда b проходит 1/5 (т. е. в один день), и первое число, которое имеет 1/3 и 1/5, есть 15, то, следовательно, весь круг будет соответствовать 15, как и время всего цикла равно 15. Поскольку, стало быть, a быстрее, следует, что когда a обгонит b на один оборот, тогда впервые они окажутся в конъюнкции, и тогда a впервые достигнет b. Итак, вычтем то, что b проходит за день, из того, что a проходит за день, и останется расстояние, на которое a обгоняет b за день. Возьмем, стало быть, этот излишек столько раз, чтобы получился полный круг, и по прошествии времени, за которое этот полный круг получится, произойдет первая конъюнкция a и b. И это получится и будет найдено, если весь круг разделить на числители указанного излишка за день, или на разность между числами более быстрого и более медленного тела. И это есть то же, что разделить знаменатель на числитель дроби, выражающей эту разность за один день. Например: мы допустили, что a совершает оборот за 3 дня, а b за 5. Следовательно, за день a проходит 1/3 круга, а b проходит 1/5 его. Следовательно, если вычесть 1/5 из 1/3, получится то, что a приобретает за день. И это составляет 2/15. И так как весь круг содержит 15 таких пятнадцатых, тотчас же становится ясным, что по прошествии 71/2 дней разница составит целый круг, и что a совершит один лишний оборот по сравнению с b, и тогда-то они впервые окажутся в конъюнк- {31} -ции. Вот почему, если разделить знаменатель этого числа, выражающего разницу, на числитель его же (т. е. 15 на 2), получится искомое время. И нет никакой разницы, полагать ли для примера, что движение происходит по одному или по нескольким кругам. Точно так же все равно, если вместо дня взять час, минуту, год или что угодно другое. Следовательно, правило для нахождения искомого нами времени таково: вычесть движение одного из движения другого, тогда остаток имеет числителя и знаменателя; разделим знаменателя на числителя и получится искомое время. [Заключение 7-е]. Если даны два движения[ix][9] двух движущихся тел, найти число конъюнкций за время одного цикла, т. е. найти, сколько бывает конъюнкций прежде чем они начнут опять происходить так же, как и раньше, и в тех же точках, в которых тела находятся теперь. Поскольку движения равномерны, всегда между двумя ближайшими конъюнкциями время одинаковое. Следовательно, не требуется ничего другого, как время всего цикла (определяемое согласно заключению 5-му) разделить на время от одной конъюнкции до другой ближайшей (что становится известным согласно заключению 6-му), и тогда получится искомое число. Например: в приведенном выше примере 15 дней будет время всего цикла a и b, а 71/2 есть время между двумя ближайшими друг к другу конъюнкциями. Следовательно, разделим 15 на 71/2 и получится 2 – число конъюнкций в пределах цикла a и b. Таким образом, третья конъюнкция будет там, где была первая, четвертая – там, где будет вторая, а пятая – опять там, где была первая, и т. д. соответственно. [Заключение 8-е]. Если два движущихся тела находятся в конъюнкции, указать место следующей конъюнкции. Так как согласно заключению 6-му мы уже имеем время такой конъюнкции, остается только узнать, сколько каждое из этих движущихся тел проходит за указанное время. Далее из этого пройденного пути нужно вычитать весь круг столько раз, сколько можно, если вообще вычитание такое возможно. И это есть то же, что разделить весь круг на пройденный путь. Тогда мы получаем искомое. Например: по данной скорости в приведенном выше примере видно, что b проходит за день 1/2 круга, и так как время до первой сле- {32} -дующей конъюнкции равняется 71/2 дням согласно заключению 6-му, ясно, что b проходит за это время 71/2 пятых, т. е. весь круг и половину его. Стало быть, следующая конъюнкция будет в точке, противоположной той, в которой a и b теперь находятся в конъюнкции. То же мы находим, исходя из движения тела а. (Заключение 9-е]. Если дано расстояние между двумя движущимися телами, определить место и время первой следующей конъюнкции. Указанное расстояние следует обозначить по дуге круга, начиная с более быстрого тела, так, чтобы это тело находилось сзади. Стало быть, если a находится впереди b на расстоянии небольшой дуги (например, одного знака), то мы будем считать, что b находится перед a на расстоянии всей остальной части круга (т. е. на 11 знаков). Итак, возьмем такое расстояние, обозначив его соответствующим ему числом, и далее возьмем наименьшие числа, входящие в отношение между скоростями движущихся тел, и их разность. Если, следовательно, эта разность есть число, посредством которого обозначено расстояние, я утверждаю, что a окажется в конъюнкции с b тогда, когда одно из них продвинется соответственно числам данного отношения и окажется в конце пути, счисляемого этими числами. А если разность наименьших чисел, входящих в отношение между скоростями, будет другим числом, отличным от того, посредством которого обозначено расстояние, тогда мы имеем пропорцию: как эта разность относится к этому числу, так любое число, входящее в отношение между скоростями, относится к числу, указывающему место и время искомой конъюнкции. Без пространного доказательства это становится очевидным из примера. Пусть a быстрее, чем b, в отношении 8 к 3, разность каковых равна 5, и пусть они отстоят друг от друга на 5 градусов. Стало быть, ясно, что когда a пройдет 8 градусов, а b пройдет 3 градуса, тогда они вновь окажутся в конъюнкции. Если же они отстоят друг от друга на 2 градуса, тогда мы имеем пропорцию: как 5 относится к 2, так 8 к тому числу градусов, которое пройдет a прежде чем окажется в конъюнкции, и это составляет 31/5 градуса. Таким образом, a пройдет 16/5 и b 8/5 которые стоят друг к другу в отношении скоростей. {33} Заключение 10-е. Найти число и последовательность мест, в которых два движущиеся тела оказываются когда-либо в конъюнкции. Из 7-го заключения явствует число конъюнкций в одном цикле. И так как между двумя ближайшими конъюнкциями время одинаковое вследствие равномерности движения, то отсюда сразу же следует, что, сколько конъюнкций в одном цикле, столько же мест или точек конъюнкций, одинаково отстоящих друг от друга и делящих круг на равные части. В этих точках и не в других происходят конъюнкции указанных движущихся тел. Королларий[9]. Отсюда явствует, что эти точки отстоят друг от друга на часть круга, соизмеримую со всем кругом, образуя кратное отношение, т. е. отстоят на аликвотную часть круга. Так, если мы имеем три подобные точки, две ближайшие друг к другу отстоят на 1/3 круга, если четыре – на 1/4, если пять – нa 1/5 и т. д. А в какой последовательности распределяются конъюнкции по этим точкам, известно из 8-го заключения, которое учит, на сколько каждая конъюнкция отстоит пространственно от последней предшествующей ей. Вот почему в круге, который разделен так на равные части в трех точках, если конъюнкция имеет место теперь в одной из этих точек, не следует, что непосредственно следующая конъюнкция будет происходить в непосредственно следующей точке, но иногда она наступает в третьей или в четвертой, минуя порядок точек, и происходит это различно в разных случаях в зависимости от величины скоростей, что можно обнаружить на основе приведенных заключений, а также следующего заключения на многих примерах. Приведем из них один. Пусть скорость a равна 12, а скорость b равна 5. Тогда на основе настоящего и следующего заключения мы найдем, что число точек, в которых a и b когда-либо оказываются в конъюнкции, равно 7. И на основании заключения 8-го мы находим, что каждая конъюнкция пространственно отстоит от последней предшествующей на 5/7, круга. Следовательно, поскольку имеется 7 точек круга, отстоящих друг от друга на равные расстояния, конъюнкция будет в одной, далее в шестой от нее (т. е. минуя 4) и т. д. постоянно. И в иных случаях пропускаются 2, в иных 3, а иногда и ни одной, когда {34} конъюнкции без скачка происходят в этих точках по порядку. Заключение 11-е. В одном цикле имеется столько конъюнкций любых двух движущихся тел и столько точек, в которых эти тела могут оказываться в конъюнкции, сколько единиц содержится в разности наименьших чисел, входящих в пропорцию скоростей движений. Я предполагаю при этом, что любое из этих тел перемещается одним-единственным простым движением (о нескольких движениях речь будет после). Пусть, следовательно, скорость a соответствует числу c, а скорость b числу d, каковые два числа друг в отношении друга простые (или наименьшие, входящие в состав данного отношения, что то же самое). Пусть далее a и b находятся в конъюнкции. Следовательно, когда a совершит обороты, соответствующие числу c, а b – соответствующие числу d, тогда, и не раньше, они вновь окажутся в конъюнкции там же, где и теперь, и завершится один полный цикл, как явствует из заключения 5-го. Но так как a совершит число оборотов, превышающее число оборотов b на величину разности между числом c и числом d, или на число единиц, которым c превышает d, и так как согласно 6-му заключению всякий раз, когда a выигрывает по сравнению с b один оборот, происходит конъюнкция, следовательно, за время всего цикла оно будет находиться в конъюнкции столько раз, сколько единиц содержится в разности между c и d, каковые c и d суть наименьшие числа, входящие в пропорцию скоростей. И по завершении указанного цикла конъюнкции начнут вновь происходить там, где и прежде, и как раньше. Следовательно, точек, в которых могут происходить конъюнкции, и конъюнкций в одном цикле столько, сколько единиц в разности между указанными числами. Например, в случае часто приводившемся: скорость a равна 5, скорость b равна 3, разность между ними равна 2. Следовательно, за один цикл a и b оказываются в конъюнкции 2 раза и в двух местах и никогда и нигде более, ибо когда a совершит 21/2 оборота, тогда a выиграет по сравнению с b один оборот, и, таким образом, они окажутся в конъюнкции в точке прямо противоположной той, в которой находятся в конъюнкции теперь. А когда a совершит 5 оборотов и b совершит 3, то {35} они вновь окажутся в конъюнкции там же, где и теперь. И тогда a выиграет по сравнению с b 2 оборота, и движение будет опять такое же, как сначала, и так всегда. Резюмируя, следовательно, предшествующие правила, формулируем общее правило так: если даны скорости, и если обозначить их посредством наименьших чисел, входящих в состав отношения между ними, то разность между этими числами указывает, во скольких местах a и b могут находиться в конъюнкции. Эти места или точки делят весь круг на равные части, как уже сказано. И умножая одно из этих чисел на другое, мы получаем время всего цикла согласно 5-му заключению. А деля время на число точек или конъюнкции в данном цикле, получают время между двумя ближайшими конъюнкциями. Имея его, так же как данную скорость, находят пространственный промежуток между двумя ближайшими конъюнкциями и порядок, в каком эти конъюнкции происходят в указанных точках. Например: скорости будут равны 8 и 3 так, что a пусть совершает один оборот в 3 дня, а b совершает в 8. Стало быть, на равных расстояниях имеется 5 точек, в которых (и только в них) всегда a и b будут оказываться в конъюнкции. Следовательно, согласно 5-му заключению, время всего цикла равно 24 дням. Это время следует разделить на 5, – получатся 44/5 дня, время между двумя следующими друг за другом конъюнкциями, так что a и b всегда будут оказываться в конъюнкции через 44/5 дней, То же самое находят иначе при помощи 6-го заключения. Так как b за день проходит 1/8 круга, a проходит 1/3, то, умножая 1/3 на 44/5 (т. е. время между двумя конъюнкциями), получают 13/5, т. е. путь, проходимый между двумя конъюнкциями (иначе говоря, 13/5 оборота). Отсюда следует вычесть один круг и останутся 3/5 круга, что и является промежутком между двумя ближайшими конъюнкциями. Таким же образом получатся 3/5 Аля пространственного промежутка, проходимого b за то же время, если умножить проходимое b за один день на указанное время между двумя ближайшими конъюнкциями. Итак, ясно, что в данном случае конъюнкции продвигаются минуя пять точек. Обозначим, стало быть, в круге 5 равноотстоящих точек e, g, k, f, h, и пусть теперь a и b {36} находятся в конъюнкции в точке a, двигаясь в сторону g. Стало быть, первая следующая конъюнкция будет в f, следующая – в g и т. д., всегда пропуская две точки. А если бы скорость a была равна 4, скорость b равна 9, так что a проходило бы круг за 4 дня, b за 9, то первая следующая конъюнкция была бы в h, следующая за ней в f и так далее, продвигаясь назад или вперед через три точки. Так же, если бы скорость a была равна 11, скорость b равна 6. Но если бы скорость a была равна 12, а скорость b равна 7, то первая следующая конъюнкция произойдет в k, следующая за ней – в, h и т. д., всегда пропуская одну точку. И так – различными способами, в зависимости от изменения скоростей, при той же разности. Притом могла бы варьировать и разность. Но я не нашел правила, как она варьирует. Из этого заключения следует, что если отношение скоростей двух движущихся небесных тел являлось бы одним из главных гармонических отношений, каковыми в звуках являются октава, квинта, кварта и тон, образующие созвучие или консонанс, то всегда тела, движущиеся таким образом, оказывались бы в конъюнкции только в одном месте, поскольку наименьшие числа таких отношений разнятся всего на единицу. Так, если бы среднее движение Марса было бы ровно в два раза быстрее среднего движения Солнца, всегда бы средняя их конъюнкция происходила только в одном месте или в одной точке. Ясно также, что если бы отношение между двумя небесными движениями равнялось тому, которое в звуках носит название диесис или малый полутон[x][10], то конъюнкция всегда происходила бы только в одном из 13 мест или точек, ибо разность наименьших чисел этого отношения составляет 13. Коль скоро, следовательно, в небесных движениях не обнаруживается, что два движения дают встречу только в одной точке неба, нужно сделать вывод, что никакие два небесные движения не соблюдают отношение скоростей, равное одному из главных гармонических отношений, а следовательно, если небесные тела образуют созвучие при движении, не следует, чтобы такого рода созвучие получалось в результате скоростей их движений. Однако оно может проистекать из других причин, как будет видно позднее, на основе иных доводов. {37} Заключение 12-е. Если движущихся тел больше двух, может оказаться, что никогда в конъюнкции не будет находиться более двух одновременно. Пусть мы имеем три движущихся тела a, b, c. Следовательно, согласно предыдущим заключениям существуют определенные точки, в которых, и только в которых, a и b могут находиться в конъюнкции. Обозначим, следовательно, какую-нибудь такую точку буквой d. Аналогично, пусть будут некоторые определенные точки, в которых, и только в которых, могут находиться в конъюнкции b и c, и одну из них обозначим буквой e. Следовательно, если ни одно d не есть e (что возможно), названные три движущихся тела никогда не будут вместе находиться в конъюнкции. Точно так же, если тел будет четыре или пять, или сколько угодно, может случиться, что всегда будут находиться в конъюнкции только два, и возможно, что места их конъюнкций, взятые попарно, не будут совпадать. И возможно также, что в некоторых случаях окажутся общие точки; например, при 6 и более движущихся телах 3 могут находиться в конъюнкции одновременно, или 4, но не больше, или также 5, но не больше, или же все и т. д. Например: пусть a и b находятся в конъюнкции в точке d, а движущееся тело c находится впереди их на 1/8 часть круга, или на 11/2 знака, причем скорость a равна 4, скорость b равна 2, а скорость c равна 1. Пусть также e будет точка, отстоящая от точки d на 1/6 круга, т. е. на 2 знака, а f и g пусть будут две другие точки так, что e и g делят круг на три равные части. Пусть h – другая точка, отстоящая от точки d на 1/4 круга или на 3 знака. При таком расположении на основании 9-го заключения доказывается, что a и c в первый раз окажутся в конъюнкции в точке e. И на основании того же заключения будет ясно также, что b и c в первый раз окажутся в конъюнкции в точке h. А на основании 10-го (или также 11-го) доказывается, что a и b никогда не будут находиться в конъюнкции, кроме как в точке d. И на основании того же, что b и c никогда не будут находиться в конъюнкции, кроме как в точке h. Отсюда тотчас же следует, что a, b и c никогда не будут находиться в конъюнкции вместе. Более того, на основании указанного заключения станет ясным, что a и c будут находиться в конъюнкции только в одной {38} из трех точек e, f, g. Отсюда в свою очередь следует вывод, что a, b и c никогда не будут находиться в конъюнкции вместе. Так же может обстоять дело и с большим числом движущихся тел: три или четыре или больше из них никогда не смогут находиться в конъюнкции вместе. А что именно из этого следует, мы увидим после[xi][11]. Заключение 13-е. Для всех трех и более движущихся тел, которые никогда не оказываются в конъюнкции все вместе, существует определенное расстояние, ближе которого они не могут подходить друг к другу. Пусть a – наиболее быстрое тело, b – среднее по быстроте, c – наиболее медленное. Пусть движутся они в такой соразмерности, что никогда все три вместе не оказываются в конъюнкции. На основании предшествующего это возможно. Я говорю, следовательно, что они не могут ближе подойти друг к другу или находиться все в меньшем промежутке, чем тогда, когда наиболее быстрое a и наиболее медленное c находятся в конъюнкции. Ведь если a и c находятся в конъюнкции, а b впереди, то непосредственно до того a и b находились на большем расстоянии, чем теперь, тогда как b и c непосредственно после того будут находиться на большем расстоянии, чем теперь. А если b находится позади, когда a и c находятся в конъюнкции, то, наоборот, непосредственно вслед за тем a и b будут находиться на большем расстоянии, чем теперь, тогда как b и c непосредственно до того находились на большем расстоянии, чем теперь. Следовательно, когда все три разъединены, они не будут находиться на столь малом расстоянии как тогда, когда a и c находятся в конъюнкции. А если ты будешь это отрицать, докажем иначе. Сначала положим, что a находится впереди, за ним следует b, потом c. Следовательно, они были ближе, когда a и c находились в конъюнкции или когда a соединялось с c, как сразу же явствует из порядка скоростей. Таким же образом можно аргументировать при всех других комбинациях. Ведь они могут быть комбинируемы или располагаемы в порядке «прежде» и «после» шестью способами, как явствует на примере. Следовательно, они не могут находиться в меньшем промежутке, чем тогда, когда a и c в конъюнкции. Итак, обозначим все точки, в которых a и c могут находиться в {39} конъюнкции, согласно тому, чему учит 10-е заключение, и посмотрим в случае каждой конъюнкции всего цикла указанных трех движущихся тел, на каком расстоянии будет находиться b от a во время каждой конъюнкции a и с. И наименьшее из них будет наименьшим расстоянием, на котором могут находиться указанные три движущихся тела, так что они не могут находиться ни на каком меньшем и еще больше приближаться друг к другу, как это явствует из прежде сказанного. Любое такое расстояние можно сразу же получить и узнать из данных скоростей и их отношения. Например, в случае ранее приводившемся, когда a и c впервые оказываются в конъюнкции в e, тогда a пройдет 2 знака, а c (которое движется вчетверо медленнее и находится впереди на l1/2 знака) пройдет 1/2 знака, между тем как b (которое движется со средней скоростью и теперь находится в конъюнкции с a в d) пройдет один знак, Следовательно, a, с и b будут находиться на расстоянии одного знака. Также, когда при следующей конъюнкции a и c окажутся в f, тогда от начала движения a пройдет 34 знака, а b пройдет 17. Отняв целый круг, мы получаем, что расстояние между ними составит пять знаков. Равным образом, когда a и c вновь будут находиться в конъюнкции в e, тогда a пройдет 50 знаков, а b пройдет 25. Следовательно, расстояние будет между ними, как прежде, один знак, и весь цикл завершится, а вместе с тем начнется новый и конъюнкции опять начнут происходить и повторяться, как раньше. Отсюда следует, что в данном случае a, b и c не могут оказаться ближе, чем на один знак, и притом не везде могут на столько приближаться друг к другу, но лишь в определенных местах. И аналогично мы скажем о большем числе движений. Стало быть, возможно, что некоторые планеты по трое или по четыре никогда не находятся в конъюнкции в том же знаке, градусе или минуте. И вполне возможно, что они не могут приближаться друг к другу менее, чем на 2 или на 3 градуса, если все их движения соизмеримы. То, что было сказано о двух движущихся телах, ты можешь распространить на сколь угодно много. Заключение 14-е. Если несколько движущихся тел теперь находятся в конъюнкции, необходимо, чтобы они в другой раз оказывались в конъюнкции в той же точке. {40} Пусть a, b и c находятся в конъюнкции в d. Поскольку скорости их соизмеримы, как было предположено, они будут соответствовать трем числам, следующим по порядку, e, f, g. Следовательно, когда a совершит определенное число полных оборотов, счисляемых числом e, тогда b совершит определенное число оборотов, счисляемых числом f. Аналогично c – числом d. Следовательно, тогда каждый из них впервые вернется в точку d, что легко уясняется тем же способом, каким в 4-м заключении велась аргументация относительно двух движущихся тел. Например: пусть скорость a равна 6, скорость b равна 5, скорость c равна 4. Следовательно, когда a совершит 6 оборотов, тогда оно вернется в точку d. Аналогично, b окажется там же, когда совершит 5, а c – 4 оборота. И таким образом они закончат их за одно и то же время. Следовательно, в конце этого времени все три вместе будут в точке d. Таким же образом и на том же основании будет вестись речь о четырех движущихся телах и о пяти, и о сколь угодно многих аргументация будет аналогичная. Заключение 15-е. Определить время, когда это произойдет впервые. Уже из сказанного явствует, что впервые это будет после оборотов, счисляемых посредством тех чисел, которыми обозначены скорости, а именно e, f, g. И так как отношение времен, в которые завершаются обороты, является обратным отношению скоростей, нужно найти три числа, которые обратно пропорциональны этим трем. И в наименьшее из них a совершит один оборот, b совершит в среднее из них, а c – в наибольшее из них. Пусть, стало быть, эти числа h, k и l. На основании 36 положения VII книги Евклида определяют наименьшее кратное их. Пусть это будет m. Я говорю, следовательно, что m есть время, в конце которого, a, b и c впервые окажутся в конъюнкции там же, где они находятся сейчас, и единица, измеряющая это число m, есть наибольшее время, измеряющее эти скорости, или наибольшая общая мера их, т. е. день, год, час и т. д. Если же взять от этого m часть, обозначаемую наибольшим числом этих скоростей, т. е. числом e, мы получим время, за которое a совершает один оборот. И если отсечь часть, обозначаемую числом f, получится время, за которое b совершает один {41} оборот. И часть, обозначаемая числом g, есть время, за которое с совершает один оборот. А отношение этих частей обратно отношению скоростей. Все это легче и короче уясняется на примере, чем путем формального доказательства. Например, пусть числа скоростей – 6, 5, 4. Стало быть, наименьшие числа, обратно пропорциональные им, суть 10, 12, 15. Так как 60 есть число, ими счисляемое, я утверждаю, что 60 есть время всего цикла этих трех, и это число счисляет время, когда впервые они оказываются в конъюнкции там, где находятся теперь. Итак, пусть мы имеем 60 дней. Стало быть, день есть наибольшее время, счисляющее или измеряющее означенные скорости. Следовательно, наиболее быстрое тело a совершает один оборот в 1/6 всего времени (т. е. в 10 дней), b в 1/5 (т. е. 12 дней) и c в 1/4 (т. е. в 15 дней). И эти числа 10, 12, 15 обратно пропорциональны трем взятым, каковые были 6, 5, 4, что ясно для всякого вдумчивого читателя. Так становится известно, в какое время они совершают один оборот. А на основании предыдущего заключения очевидно, что после 6 оборотов а все три впервые окажутся в конъюнкции в точке d. Итак, найдено время, когда впервые они вернутся к месту, в котором находятся теперь. И это есть период всех трех, по прошествии которого конъюнкции и все последовательные аспекты начинают иметь место совершенно так же, как раньше. И аналогично можно тем же путем найти это для любого числа движущихся тел. Заключение 16-е. Найти время, за которое такого рода движущиеся тела впервые оказываются в конъюнкции либо в точке, в которой находятся теперь, либо в другой. Находят согласно заключению 6-му время, по прошествии которого a и b впервые оказываются в конъюнкции. Согласно тому же заключению находят время, по прошествии которого c и b впервые оказываются в конъюнкции. А также время, по прошествии которого a и c впервые оказываются в конъюнкции. Когда это получено, определяют согласно 36-му положению VII книги Евклида, наименьшее время, счисляемое всеми этими тремя временами, и в конце этого времени эти три движущихся тела в первый раз окажутся в конъюнкции. Это явствует из предшествующего и сразу же становится ясным из примера. А именно: в слу- {42} -чае, ранее приведенном, из 6-го заключения станет ясным, что a и b впервые окажутся в конъюнкции на 20-й день, и соответственно будет происходить через каждые 20 дней. Из того же заключения мы узнаем, что b и c впервые окажутся в конъюнкции на 12-й день и соответственно дальше через каждые 12 дней. И a, и c – на 10-й день и соответственно дальше через каждые 10 дней. Коль скоро, стало быть, 60 есть наименьшее число, счисляемое числами 20, 12 и 10, следует, что на 60-й день все три впервые окажутся в конъюнкции в точке d, в которой они находятся в конъюнкции теперь. Ибо в этом случае имеется лишь одна точка, в которой все три могут находиться в конъюнкции. Для упражнения положим иначе, так, что скорость a равна 7, скорость b равна 5, скорость c равна 3. Тогда при помощи арифметики находим, что наименьшие числа, обратно пропорциональные им, суть 15, 21 и 35, и наименьшее число, ими счисляемое, 105. Следовательно, по прошествии 105 дней они впервые окажутся в конъюнкции там же, где находятся теперь, хотя в промежутке и будут находиться в конъюнкции в других местах. Это ясно. Ведь a и b впервые оказываются в конъюнкции по прошествии 521/2 дней, как это явствует из заключения 6-го следующим образом: a совершает один оборот за 15 дней, следовательно, за день проходит 1/15 круга. A b – за 21 день, следовательно, за день 1/21. Следовательно, вычитаем 1/21 из 1/5, получаем 6/315, а деля знаменатель 315 на числителя (т. е. 6), получим 521/2, что и требовалось определить. Тем же путем будет найдено, что a и c оказываются в конъюнкции через 261/4 дня, а b и c через 521/2. Наименьшее время, счисляемое ими, есть 521/2 дня. Следовательно, тогда эти три тела впервые окажутся в конъюнкции, а именно, в точке противоположной той, в которой они впервые находятся в конъюнкции теперь. Так мы имеем две точки, в которых в данном случае происходит конъюнкция. А в отношении сколь угодно большого числа движущихся тел речь будет вестись соответственно, на основе тех же самых правил. Заключение 17-е. Исчислить конъюнкции всего цикла или периода, а именно, сколько раз происходит конъюнкция, пока тела вновь не окажутся в той же точке, в которой они находятся теперь. {43} Поскольку движения равномерны, время между двумя ближайшими друг к другу конъюнкциями одинаковое. Следовательно, достаточно взять время всего цикла этих трех движущихся тел (которое становится известным согласно 15-му заключению) и это время разделить на время между двумя ближайшими друг к другу конъюнкциями (которое определяется согласно предыдущему заключению). Тогда получается искомое число. Например, в последнем приведенном примере время цикла всех трех тел было 105 дней, а время между двумя ближайшими друг к другу конъюнкциями равно 521/2 дням. На них следует разделить время 105 дней и получится 2, Следовательно, конъюнкции могут происходить только в двух местах так, что третья конъюнкция будет опять там же, где первая, а четвертая там, где вторая, и так далее, всегда повторяясь, как было сказано о двух движущихся телах в заключении 7-м. И совершенно аналогично следует поступать с четырьмя, пятью, шестью, семью и каким угодно числом движущихся тел, находящихся теперь в конъюнкции, при данных их скоростях и пропорциональных им числах. Но если числа мест, в которых они оказываются в конъюнкции попарно, простые друг в отношении друга, то тогда конъюнкция может происходить в стольких точках, сколько единиц в наибольшем общем множителе вышеуказанных чисел, каковые числа весьма легко найти согласно заключению 11-му. Например: пусть скорость a соответствует 20, скорость b – 10, скорость c – 7. Следовательно, согласно заключению 11-му, точек конъюнкции a и b насчитывается десять, точек конъюнкции c и b три, и точек конъюнкции a и c тринадцать. Эти три числа – простые друг в отношении друга, следовательно, эти три движущихся тела могут находиться в конъюнкции только в одном месте. Но если скорость a соответствует 19, скорость b соответствует 13, а скорость c соответствует 10, тогда три числа точек, в которых происходит их конъюнкция попарно, были бы 6, 3 и 9. И так как наибольший общий множитель их равен тройке, то поэтому эти три движущихся тела могут находиться в конъюнкции все три вместе в трех точках. Заключение 18-е. Определить место первой следующей конъюнкции. {44} Как в 8-м заключении было сказано о двух движущихся телах на основании 6-го заключения, совершенно так же здесь следует сказать о нескольких телах на основании 16-го. Например: в приведенном примере скорость a соответствовала 7, скорость b соответствовала 5 и скорость c соответствовала 3. Время полного цикла составляет 105 дней. Следовательно, за все это время a совершает 7 оборотов. Следовательно, один оборот оно совершает в 1/7 этого времени (т. е. в 15 дней). Следовательно, за день оно проходит 1/5 своего круга. Но из 16-го заключения явствует, что первая следующая конъюнкция будет по прошествии 521/2 дней. Следовательно, за это время a проходит 521/2 пятнадцатых своего круга. Следовательно, точка, в которой произойдет первая конъюнкция всех трех, будет отстоять от точки, в которой они находятся теперь, на 71/2 пятнадцатых, иначе говоря, на половину круга. И это есть точка, противолежащая точке d. То же самое получилось бы, если взять движение b, и сходно движение c. И так же следует поступить с любыми движущимися телами, сколько бы их ни было. Заключение 19-е. Найти число и последовательность точек, в которых когда-либо смогут оказаться в конъюнкции несколько таких движущихся тел. Аналогично тому, как мы поступали в случае двух движущихся тел в заключении 10-м, опираясь на 7-е, так в данном случае нужно поступать, опираясь на заключение 17-е. И из этой последовательности прохождения по точкам конъюнкций явствует, когда, как и в каком месте счислять конъюнкции верхних планет от одного затмения до другого, равно как и прочие аспекты. Ибо, как было сказано в 10-м заключении о двух телах, – о том, что не всегда конъюнкции переходят от одной точки к ближайшей, но иногда происходят скачки через интервалы, – так может случиться с тремя или более аналогичным же образом. Заключение 20-е. Если круги будут эксцентрические, число мест или точек будет то же, как в том случае, если они концентрические. Однако промежутки времени и пространства будут у них неодинаковые. Ибо оттого, что их движения соизмеримы, по необходимости, когда движущиеся тела находятся в конъ- {45} -юнкции в одном месте, они должны оказываться там же в конъюнкции и в другой раз, как было доказано раньше. Следовательно, число таких мест конечное и по прошествии полного цикла все конъюнкции вновь начинают повторяться так же, как раньше. Пусть, следовательно, мы имеем два движущихся тела a и b, c – центр мира, g – центр движения a, h – центр движения b. И пусть a и b находятся теперь в конъюнкции на линии cdg, которая проходит через апогей эксцентрика и точку, противоположную апогею. Тогда a и b относятся друг к другу так, как если бы движения и круги их были концентричными, и место их то же, и среднее движение, и истинное. То же самое, когда они находятся в точке, противоположной апогею. Положим, следовательно, что b проходит 1/4 своего круга за определенное время и в конце этого времени пусть b находится на линии dh. В то же время a пусть проходит 1/4 своего круга и в конце этого времени находится на линии ch. Тотчас же отсюда следует, что если бы движения были концентрическими, то тогда наступила бы их конъюнкция, а теперь a находится перед b вследствие эксцентричности кругов. Но было предположено, что a движется быстрее. Следовательно, a и b уже до истечения этого времени находились бы в конъюнкции в отношении к центру c, а также на линии или точке, ближайшей к g. Аналогично будут разобраны и другие конъюнкции с той только разницей, что с этой стороны диаметра gdcf (т. е. слева) будет происходить обратное, т. е. конъюнкция будет происходить позднее, чем при концентрическом движении, так что среднее движение, которое мы воображаем концентрическим, с одной стороны диаметра превышает истинное движение, а с другой стороны истинное превышает среднее. И как сказано было о конъюнкции двух тел, так надлежит говорить о конъюнкции трех, четырех или более. Следовательно, ясно, что промежутки времени и пространства – иные, чем при концентрических движениях. И если бы движения были концентрическими, тогда промежутки были бы одинаковыми по обе стороны, вследствие равномерности движений. Следовательно, теперь такого рода промежутки времени и пространства неодинаковые. И справедливо это в том случае, когда конъюнкции происходят только в апогее или в точке, {46} противоположной апогею. Кроме того, все сказанное ранее настоящего заключения должно быть применимо к средним движениям. Это заключение учит также, каким образом применять все соответственно к истинным движениям, невзирая на эксцентрики и эпициклы. Заключение 21-е. Все, что было сказано о конъюнкции двух или более движущихся тел, должно быть аналогично понимаемо применительно к противостоянию их и к любому иному аспекту или взаимоотношению их. Впрочем, следует различать треугольный аспект до конъюнкции от треугольного аспекта после конъюнкции. Также квадратный и шестиугольный аспект или иное взаимоотношение, за исключением конъюнкции и противостояния, ибо всякий аспект, отличный от двух последних, бывает двоякий, а именно до конъюнкции и после нее, один раз – справа и другой раз – слева. Если понять это, все сказанное может быть доказано в отношении любого аспекта так, как было уже доказано в отношении конъюнкции. Заключение 22-е. Применить аналогичное к движущемуся телу, перемещающемуся несколькими движениями. Предположим, что Солнце перемещается только двумя движениями, например собственным и суточным, и пусть а – первая точка Рака в девятой сфере, каковая сфера день за днем описывает один и тот же круг, а именно летний тропик. И пусть b – центр солнечного тела, который за один год посредством собственного движения описывает эклиптику. И теперь пусть находятся a и b в точке d, которая воображается неподвижной. Коль скоро, стало быть, эти движения соизмеримы, как здесь это предполагается, отношение их движений будет рациональным. Если, следовательно, это отношение будет кратным, то, следовательно, a и b никогда не окажутся вместе, кроме как в точке d, что явствует на примере. Так, если a совершает 100 оборотов в то время, когда b совершает один, тогда по совершении этих оборотов a и b окажутся в точке d, не раньше и не позже, И так всегда, через каждые 100 дней. А если отношение иное, чем кратное, оно будет обозначаемо дробью, и знаменатель этой дроби указывает, сколько существует точек, в которых a и b могут встречаться вместе. Так, {47} если за время, в которое b совершает один оборот, а совершает 1001/2, то, следовательно, поскольку b движется при движении a, выходит, что a и b впервые найдут друг друга в точке, противоположной точке d, которая была первой точкой, а в следующий раз они найдут друг друга в точке b. Таким .образом, будет существовать только две постоянные точки, в которых a и b могут встречаться. А если за время, за которое b совершает один оборот, a будет совершать 1001/3, то тогда существовали бы три постоянные точки, не больше, в которых a и b могли бы встречаться или, иначе говоря, b настигать a. Если a совершало бы 1001/4 оборота, было бы 4 места. Если 1001/5, то 5 мест, и так далее постоянно. Кроме того, если за время, когда b совершает один оборот, a совершало бы 1002/5 оборота, тогда было бы 5 мест, в которых они бы встречались, ибо за это время a проходило бы определенное число кругов с 2/5 и вновь, во второй раз столько же и 2/5, и так далее постоянно. Отсюда ясно число тех точек неба и порядок их, в которых Солнце вступает в первую точку Рака. И так же рассуждают о прочих 30 градусах. Отсюда очевидно, что если бы Солнце перемещалось только двумя движениями и солнечный год измерялся бы в точности целым числом дней, оно вступало бы в знак Рака не иначе как тогда, когда оно находится на одном меридиане, и опять-таки во второй раз в нем же, и никогда в ином. И если год в точности содержит определенное число дней с четвертями, например 3651/4, тогда существует только четыре точки на тропике, отстоящие друг от друга на равные расстояния, в которых Солнце может вступать в первую точку Рака. И так же рассуждают о прочих градусах. Если же будет три движения, то тогда указанным уже образом сравнивают их попарно, а затем эти сочетания сравнивают друг с другом почти так, как было сказано о конъюнкции трех движущихся тел. И так же рассуждают о четырех или более движениях. Из всего этого следует, что сколько бы ни было движений, лишь бы они были друг с другом соизмеримы, при любом данном расположении всегда существуют численно определенные места, в которых только, и не в иных, данное движущееся тело может находиться в определенном отношении к другим. И когда оно пройдет через все эти {48} места, оно вновь начнет проходить их совершенно так же, как раньше. Например: пусть мы имеем четыре постоянные точки, в которых Солнце может вступать в знак Рака. И пусть d – одна из них. Я утверждаю, что, начиная с точки d Солнце будет проходить их за 4 года, непрерывно и ежедневно описывая новый круг до тех пор, пока в конце 4-го года не вернется в точку d и тогда возобновит свое течение как сначала; и так всегда. Равным же образом, если таких точек больше, то цикл подобного рода завершался бы в большее время. И соответственно следует сказать о Луне и о любой другой планете. Если, стало быть, все движения, посредством которых перемещается Солнце, соизмеримы друг с другом, то само Солнце в пространстве, которое воображается неподвижным, описывает своим центром путь, или линию конечной величины, лишенную завершающих точек, наподобие круговой линии, однако, не круговую, но свитую из многих завитков или оборотов, из которых некоторые начинаются у тропика Рака и продолжаются, завиваясь, до тропика Козерога. По ним Солнце, как бы начиная, проходит и затем, поворачивая в противоположную сторону, описывает другие завитки, которые пересекают первые и как бы переплетаются с ними. В общем, существует столько же завитков или заворотов, сколько требуется дней для того, чтобы Солнце из точки неба, воображаемой неподвижной, вернулось бы вновь в нее же. И рисунок такого рода сплетения между тропиками подобен четырехугольникам, ромбам или косоугольникам, внутри площади и внутреннего пространства которых никогда не был и вовеки не будет центр Солнца. Этот путь бывает проходим Солнцем один раз за период или цикл, а затем вновь Солнце начинает продвигаться по тому же самому пути, как и раньше. А о Луне и других планетах можно сказать таким же образом. Оттого любое тело, перемещающееся несколькими движениями, взятое само по себе, имеет известный период, по прошествии которого этот последний возобновляется вновь, и так до бесконечности. Его можно назвать великим годом этого движущегося тела. Аналогично любые два движущихся тела, взятые вместе, совершают свое течение за определенный период времени, по прошествии которого они вновь начинают его, как прежде. И так же следует сказать о трех. {49} четырех и любом числе тел. И можно назвать это их великим годом. Так, некоторые доказывают в отношении Солнца и восьмой сферы, что великий год их составляет 36 000 солнечных лет[xii][12]. Но великий год всех планет и восьмой сферы значительно больше. Коротко говоря, если все движения неба друг с другом соизмеримы, необходимо, чтобы все вместе составляли один максимальный период, по прошествии которого он возобновлялся бы, но не тот же, а сходный, бесконечное число раз, если бы мир был вечным. Заключение 23-е. Если некоторые такие тела теперь находятся в конъюнкции, то всегда они будут на соизмеримом расстоянии от точки конъюнкции и друг от друга. Это следует понимать о расстоянии, считаемом по дуге круга и соответственно центральным углам. Пусть a, b, с находятся в конъюнкции в точке d. Пусть a – наиболее быстрое тело, b – среднее, c – наиболее медленное. Коль скоро, следовательно, их движения соизмеримы, пути, ими пройденные, в любое мгновение после нынешнего мгновения будут соизмеримы. Ибо все то, что отстоит от чего-либо третьего на соизмеримую величину, отстоит одно от другого также на соизмеримую величину, как это легко доказывается на основании 9-го (12-го) положения X книги Евклида[xiii][13]. Отсюда явствует, что всякий раз, когда они описывают центральные углы, эти углы оказываются соизмеримыми. Заключение 24-е. Если три таких тела теперь находятся в конъюнкции, всякий раз, когда затем два из них окажутся в конъюнкции, третье будет отстоять от них на угол, соизмеримый с прямым, или, иначе говоря, на дугу, соизмеримую со всей окружностью круга. Коль скоро места, в которых могут находиться в конъюнкции два из тел (а именно a и d), находятся на одинаковом расстоянии друг от друга, что явствует из заключения 10-го, то эти места или точки делят круг на равные части соответственно равным центральным углам. Пусть один из них – g. Следовательно, угол g, взятый известное число раз, исчерпывает всю площадь вокруг центра, ибо составляет четыре прямых. Следовательно, угол g соизмерим с прямым углом. И поэтому, когда два тела оказываются в конъ- {50} -юнкции, они отстоят от точки, в которой три тела находились в конъюнкции, на угол, соизмеримый прямому. Пусть это будет угол k. Следовательно, прямой угол соизмерим углу k. Но угол, на который отстоят тогда два движущихся тела от третьего, соизмерим углу k, согласно предшествующему. Следовательно, он соизмерим прямому, ибо все, что соизмеримо с чем-нибудь одним, соизмеримо друг с другом, как явствует из 10-го заключения[xiv][14]. Заключение 25-е. Определить, какие пропорции движений могут быть точно выражены посредством физических дробей (т. е. тех, которыми пользуются астрономы), иначе говоря, внесены с пунктуальной точностью в таблицы. Из заключений 10-го, 11-го, 17-го, 19-го и 21-го явствует, что места или точки конъюнкций двух или более движущихся тел исчисляются определенным числом, и то же справедливо относительно других аспектов и всяческих расположений. Сообразно с этим, весь круг делится на столько же частей в указанных точках. Следовательно, нельзя посредством никакого деления, которое является простым по отношению к делению, произведенному через эти точки, в точности определить конъюнкции и аспекты. Следовательно, такие движения не могли бы быть внесены в таблицы при ином делении, как явствует из 3-го заключения. Но любое деление в какой-либо пропорции является простым по отношению к делению астрономических таблиц, кроме деления в той пропорции, чье число, непосредственно следующее за единицей, имеет общих множителей с 60, – может быть, исключая совпадение в одной точке. И совпадение невозможно в нескольких точках, как явствует из заключения 3-го. А какими числами делится круг при той или иной пропорции движения, становится известным из заключений 10-го, 11-го и 17-го. Следовательно, из этих заключений можно определить, какие круговые движения в точности могут быть выражены посредством астрономических таблиц. Итак, если имеется в точности семь точек, или 13 и т. п., в которых Солнце может вступать в первую точку Рака, то никогда по обычным таблицам не получится в точности вступление его в знак Рака, или иной знак и градус. И при помощи их нельзя будет получить точное его движение или место его, {51} а также истинную величину года. Аналогично, если бы было в точности 7, 19, 23 и т. п. точек, в которых Солнце и Луна могли бы находиться в конъюнкции, также нельзя было бы никогда при помощи обычных таблиц вполне точно выразить их конъюнкцию. И то же справедливо относительно других аспектов, движений или планет. Впрочем, астроному достаточно, что конъюнкция происходит в таком-то градусе, или в такой же минуте, или секунде и т. д., хотя он и не знает, в какой именно точке этой минуты, иначе говоря, с него достаточно, что погрешность его не улавливается глазом при помощи какого-либо инструмента[xv][15]. Этих общих соображений о движениях неба достаточно при предположении, что они соизмеримы друг с другом. Следует вторая часть настоящего сочинения.
Примечания [1] 1) Сенека, О досуге мудреца, гл. 6, 4, стр. 239. [2] 2) Цицерон» О природе богов, II. 40, 108. [3] 3) Там же, 56, 140. [4] 1) Цицерон, О природе богов, II, 40, 104. [5] 2) Сенека, О досуге мудреца, гл. 5, 3 – 4, стр. 236. [6] 3) Цицерон, О природе богов, II, 41, 104 – 105. [7] Аликвотная часть (pars aliquota) – Аликвотная часть известной величины или числа есть в противоположность аликвантной такая часть, на которую целое может быть разделено без остатка или которая относится к целому как единица к какому-нибудь целому числу. Так, 2 и 5 – аликвотные части 10 и 20; 2, 3, 4, 6 — А. части 12 и т. д. Аликвантная часть (pars aliquanta). – Так называется в арифметике часть известной величины или известного числа, которая относится к целому иначе, чем единица к какому-нибудь целому числу. Так, 3, 5, 7, 9 – аликвантные части 16, 17, 19 и т. д. См. статьи в ЭС БиЭ. [8] 1) На полях: О двух движущихся телах – 4-е первой части. О нескольких – 12-е той же части. О движении по эксцентрику – 20-е той же части. О движущихся несколькими движениями говорится в 22-м той же части. [9] corollary – англ. – 1. логический вывод; заключение; 2.– естественное следствие, результат. [i] 1. Ср. аналогичную «Похвалу астрономии» в сочинении Орем а «Contra judiciarios astronomos» (печатныйтексте книге: H. Pruckner, Studien zu den astrologischen Schriften des Heinrich von Langenstein, Leipzig, 1933, стр. 235 – 236). Там Орем также ссылается на то же сочинение Цицерона «О природе богов». [ii] 2. Выражение incommuntcantes, которое сам Орем приравнивает к выражению contra se primi, соответствует у Евклида (Начала, VII, определение 13) термину πρώτοι πρόζ άλλήλουζ. В дальнейшем переводе communicantes и incornmunicantes переданы как правило выражениями «первые друг в отношении друга», «не-первые друг в отношении друга», а выражение commimicare in aliquo numero (ср. ч. I, заключение 2, стр. 24 ) – «иметь общего множителя». В отдельных случаях глагол communicare приходится передавать описательно, например, там, где речь идет о встрече движущихся тел в отдельных точках (см., например, приписку к трактату, стр. 88). [iii] 3. Для облегчения текста в дальнейшем описательное выражение anguli descripti circa centrum и подобные ему переводятся просто как «центральные углы». [iv] 4. Мы переводим всюду выражения circulationes и revolutions как «обороты» и «циклы». Иногда (например ч. I, заключение 17, стр, 43 ) наряду с выражением revolutiones Орем пользуется, как равнозначным, термином periodi (периоды). [v] 5. Орем цитирует «Начала» Евклида в латинской редакции Джованяи Кампано из Новары, который в середине XIII в. комментировал это сочинение, взяв за основу перевод Аделярда Батского (1-я пол. XII в.). Я имел в руках издание с комментариями Кампано: Opus Elementorum Euclidis, Venetiis, 1482 (экземпляр ГПБ в Ленинграде). По принятой в новейших изданиях нумерации упоминаемое Оремом предложение есть предложение 12-е девятой книги. Ср. Начала Евклида. Книги VII – X. Пер. Д. Д. Мордухай-Болтовского, Гостехиздат, 1949, стр. 79. [vi] 6. Обозначение шести десятеричных дробей как «физических» в противоположность «обыкновенным» появляется, видимо, впервые у магистра Гернарда, автора «Algorismus de minutiis» (XIII в.). Ср. G. Enestrom, Der Algorismus de minutis des Meisters Gernardus – «Bibliotheca Mathematica», Bd. 14 (1914), S. 101. История вопроса подробнее изложена в книге: Marshall Clagett, {89} Giovanni Marliani and late medieval physics, N. 1941, pp. 145 – 70 (Ch. VII. Vulgar fractions). К той же теме о соизмеримости движений с «физическими дробями Орем возвращается дальше (часть I, заключение 25-е. стр. 51). [vii] 7. Эту же мысль, что астрономы могут довольствоваться: лишь приблизительной точностью, Орем развил в конце второй части трактата (стр. 68). [viii] 8. Наименьшие числа данного отношения» numeri in sua proportione minimi; Орем имеет в виду числа, получающиеся после сокращения членов отношения определенного вида на общих множителей. Например, наименьшие числа отношений 64:32, 16:8, 4:2, являющихся разновидностями «двойного» отношения (proportio dupla), суть двойка и единица. [ix] 9. Следует помнить, что когда Орем говорит просто о «движениях», или сравнивает их друг с другом, он по большей части имеет в виду их скорости. [x] 10. Ср. дальше (часть III, стр. 83), где Орем отвергает мнение» будто движения Солнца и Венеры стоят друг к другу в отношении 256:243. [xi] 11. Имеется в виду 14-е заключение первой части (стр.40). [xii] 12. О той же величине великого года Орем упоминает в другом своем трактате («Об отношениях отношений», гл. 4, л. 25 по венецианскому изданию 1505 г.), говоря, что на основании изложенных им принципов можно опровергнуть учение о «великом годе, который некоторые полагали равным 36 000 лет, утверждая, будто небесные тела по истечении этого срока возвращаются к прежнему положению, причем аспекты, миновавшие в прошлом, появляются в таком же порядка вновь, как и все прочее». «Это, – продолжает Орем, – некоторые привыкли опровергать не путем доказательств, но бранью и болтовней. Между тем правильно будет с философами бороться при помощи философии, и с математиками – при помощи математики, чтобы Голиаф был поражаем собственным мечом, истина становилась бы явной, а ложь была бы разрушена». У Макробия (Комментарии к «Сновидению Сципиона», II, II) величина «великого года» определялась в 15 000 лет. Но, начиная с XII – XIII вв. все чаще стала указываться другая величина – 36 000 лет, восходящая к Птолемею, который из сопоставления собственных наблюдений с наблюдениями Гиппарха заключал, что сфера неподвижных звезд перемещается за 100 лет примерно на 1º (Альмагест, VII, 2). Это число 36 000 находим у Александра Некама в сочинении «О природе вещей» (написанном до 1200 г.), у Гильома Овернского («О вселенной», написано в 1231 – 1236 гг.), в энциклопедии Бартоломея Англичанина «О свойствах вещей» (ок. 1260) и др. См. подробнее L. Thorndike, A History of magic and experimental science, vol. II, London, 1923, pp. 203, 37, 418, 589, 710, 895. [xiii] 13. Нумерация положения Евклида в данном случае не со впадает ни с переводом Кампано, ни с принятой в настоящее времч (см. примечание 5) По переводу Кампано это – положение 8, {90} по современным изданиям – положение 12-е (сравни указанный в примечании 5 перевод Д.Д. Мордухай-Болтовского, стр. 114). [xiv] В рукописи видимо ошибка: имеется ввиду не 10-е заключение трактата Орема, а 12-е (или, по нумерации Кампано, 8-е) положение 10-й книги «Начал» Евклида, на которое автор ссылается и в других местах (ср., например, часть II, заключения 2, стр. 53). [xv] Ср. то, что Орем говорил выше о точности астрономических таблиц (часть I, заключение 3-е, стр. 27).
|
|
БИБЛИОТЕКА ХРОНОСА |
|
Редактор Вячеслав РумянцевПри цитировании всегда ставьте ссылку |
