|
|
Николай Орем |
|
- |
БИБЛИОТЕКА ХРОНОСА |
БИБЛИОТЕКАА: Айзатуллин, Аксаков, Алданов...Б: Бажанов, Базарный, Базили...В: Васильев, Введенский, Вернадский...Г: Гавриил, Галактионова, Ганин, Гапон...Д: Давыдов, Дан, Данилевский, Дебольский...Е, Ё: Елизарова, Ермолов, Ермушин...Ж: Жид, Жуков, Журавель...З: Зазубрин, Зензинов, Земсков...И: Иванов, Иванов-Разумник, Иванюк, Ильин...К: Карамзин, Кара-Мурза, Караулов...Л: Лев Диакон, Левицкий, Ленин...М: Мавродин, Майорова, Макаров...Н: Нагорный Карабах..., Назимова, Несмелов, Нестор...О: Оболенский, Овсянников, Ортега-и-Гассет, Оруэлл...П: Павлов, Панова, Пахомкина...Р: Радек, Рассел, Рассоха...С: Савельев, Савинков, Сахаров, Север...Т: Тарасов, Тарнава, Тартаковский, Татищев...У: Уваров, Усманов, Успенский, Устрялов, Уткин...Ф: Федоров, Фейхтвангер, Финкер, Флоренский...Х: Хилльгрубер, Хлобустов, Хрущев...Ц: Царегородцев, Церетели, Цеткин, Цундел...Ч: Чемберлен, Чернов, Чижов...Ш, Щ: Шамбаров, Шаповлов, Швед...Э: Энгельс...Ю: Юнгер, Юсупов...Я: Яковлев, Якуб, Яременко...Родственные проекты:ХРОНОСФОРУМИЗМЫДО 1917 ГОДАРУССКОЕ ПОЛЕДОКУМЕНТЫ XX ВЕКАПОНЯТИЯ И КАТЕГОРИИ |
Николай ОремО соизмеримости или несоизмеримости движения неба
Часть втораяТеперь остается во второй части настоящего сочинения показать, что воспоследует, если положить, что некоторые из движений неба несоизмеримы друг с другом. Здесь пусть будет такое 1-е заключение. Если два движущихся тела, перемещающихся несоизмеримыми друг с другом движениями, теперь находятся в конъюнкции, они больше никогда не окажутся в конъюнкции в той же точке. Пусть a и b теперь соединены в точке d. Тогда, если бы они в другой раз сошлись в точке d, следовало бы, что за протекшее время то и другое совершили некоторое число оборотов в точности. Пусть, следовательно, c – число оборотов, которые совершило a, и g – число оборотов, которые совершило b. Поскольку отношение скоростей такое же, как отношение путей, пройденных за то же самое время, постольку тотчас же получается, что скорости этих движущихся тел относятся друг к другу, как два числа c и g. Следовательно, скорости эти соизмеримы, что противоречит положению. Например, если a и b, которые теперь находятся в конъюнкции в точке d, вновь затем в другой раз окажутся в конъюнкции в той же точке d, положим, что a совершило 5 оборотов и b совершило 3; тогда ясно, что скорости эти относятся друг к другу как числа 5 и 3 и что {52} a движется быстрее, чем b, в отношении 12/3:1. На том же основании доказывается, что они никогда не будут в конъюнкции до точки d. Таким же образом следует понимать это в случае противостояния и любого другого аспекта. Например, если a находится в точке d, а b – в точке противолежащей, никогда вновь они не будут в противостоянии, когда находятся в этих точках, и раньше не были в противостоянии, как доказывается на том же основании. Следовательно, период бесконечен, или, вернее сказать, его не существует. Заключение 2-е. Если два таких тела теперь находятся в конъюнкции, они никогда больше не будут в конъюнкции в точке, отстоящей от точки, в которой находятся теперь, на величину части круга, соизмеримую с целым. Ведь если к одной из соизмеримых величин прибавить величину, соизмеримую с ними обеими, все величины будут соизмеримы, как явствует из 8-го и 9-го положений X книги Евклида[i][16]. Коль скоро, следовательно, любое число оборотов соизмеримо любому числу других оборотов, следовательно, если к тому и другому числу прибавить часть, соизмеримую с одним полным оборотом, суммы будут соизмеримы. Следовательно, если a и b оказывались бы в конъюнкции в точке, отстоящей от точки d, любое из них в промежуточное время совершало бы определенное число полных оборотов и часть оборота, соизмеримую с целым. Следовательно, движения их были бы соизмеримы, коль скоро проходимые за одинаковое время пути были бы соизмеримыми. Например: если a и b теперь находятся в конъюнкции в точке, отстоящей от точки d на расстояние, равное 1/4 круга, а a совершило бы тогда 91/4 оборотов, а b совершило бы 31/4 оборота, то отношение движения a к движению b было бы таково, каково отношение 91/4 к 31/4, т. е. как к 13. Это есть отношение, члены которого не имеют общих множителей. Аналогично следует сказать о противостоянии и любом другом аспекте. Оттого, если а теперь находится в точке d, а b в противоположной точке, на том же основании мы докажем, что никогда они не будут в противостоянии, кроме как находясь в точках, отстоящих от тех на соизмеримое расстояние, считая это расстояние по дуге круга. {53} И так рассуждают о любом другом расположении. Таким же образом аргументируют и о прошедшем, как было сказано о будущем. Следовательно, в этом случае расстояние (т. е. часть круга) между двумя ближайшими друг от друга конъюнкциями соизмеримо со всем кругом. И то же относится к любому другому аспекту или расположению неба. Равным образом, время между двумя такими конъюнкциями соизмеримо времени оборота одного движущегося тела и времени оборота другого. Равным образом, времена оборотов соизмеримы друг с другом. Заключение 3-е. Если одно из движущихся тел окажется в точке, в которой теперь находятся оба, то никогда расстояние между ними не будет соизмеримой частью круга. Пусть, как и раньше, a и b находятся в точке d. И так как их движения несоизмеримы, пройденные ими пути всегда будут несоизмеримыми. Следовательно, всякий раз, когда a совершило некоторое число полных оборотов и вновь оказывается в точке d, тогда b совершило либо часть оборота, несоизмеримую с целым, либо оборот (или обороты) плюс часть, несоизмеримая с целым. Следовательно, тогда b будет отстоять от a на часть круга, несоизмеримую с целым. И таким образом, a будет отстоять от b на часть круга, несоизмеримую с целым кругом, всякий раз, когда b совершит некоторое число оборотов и окажется в точке d, как можно доказать на том же основании. Следовательно, a и b тогда будут образовывать центральный угол, который несоизмерим с прямым углом. Следовательно, когда одно из них находится в точке d, они никогда не находятся в шестиугольном аспекте, и не в квадратном, и не в треугольном, и не в противостоянии, или каком-либо аспекте, соизмеримом с ним. Точно так же и, наоборот: в каких бы точках они не располагались, образуя аспект, соизмеримый с целым, никогда ни в одной из этих точек им невозможно оказаться в конъюнкции в будущем или быть в конъюнкции в прошедшем. Заключение 4-е. Нет никакой столь малой части круга, в которой такие два движущихся тела не оказывались бы в конъюнкции в будущем, и в которой они не были бы в конъюнкции в прошлом. {54} Пусть a и b теперь находятся в точке d и точка e будет местом первой следующей конъюнкции. Поскольку, стало быть, a и b движутся равномерно, время между двумя ближайшими друг к другу конъюнкциями всегда будет одинаковым, равным образом и пространство одинаковым. Потому: какова дуга между точкой d и точкой первой следующей конъюнкции, такова будет и дуга между точкой второй и точкой следующей, третьей конъюнкции, и так далее, словно повторяя дугу de бесконечное число раз и откладывая ее на круге. И поскольку дуга de [не] соизмерима кругу, согласно 3-му положению этой второй книги, постольку после некоторого числа повторений какой-либо дуги, равной de, она превзойдет величину круга и дуга эта перейдет за точку d, деля дугу de в точке g. И совершенно аналогично будет разделена вторая дуга между второй и третьей конъюнкцией и так непрерывно, пока весь круг не будет разделен, так, что ни одна часть, большая, чем дуга dg, не останется неразделенной. А затем, поскольку дуга dg [не] соизмерима кругу, вновь посредством такого повторения она будет делиться и получится меньшая дуга dk, и, в конце концов, круг окажется разделенным так, что ни одна его часть не будет больше, чем дуга dk. И так продолжают до бесконечности, всегда деля круг на меньшие части до бесконечности, вследствие [не] соизмеримости и бесконечности конъюнкций и повторений. Следовательно, не останется ни одна часть круга, которая не была бы в тот или иной раз мысленно разделенной указанным образом. Это подобно тому, как если бы откладывать сторону квадрата на его диагонали, получая излишек, и затем отрезать этот излишек, откладывая его на диагонали и вновь отрезать второй излишек и отложить, как раньше и [...] взять четвертый излишек, и так продолжать до бесконечности. Тогда до бесконечности будет уменьшаться этот излишек, соответственно величине которого постоянно делят диагональ. Следовательно, ни одна часть диагонали не осталась бы неразделенной на протяжении всего времени. И в известном роде так же обстоит дело в интересующем нас случае. Следовательно, не будет ни одной столь малой части круга, в какой-нибудь точке которой не происходила бы когда-нибудь в будущем конъюнкция, что и требовалось доказать. То же спра- {55} -ведливо о прошедшем, если предположить вечность движений. Оттого на таком круге a и b окажутся в конъюнкции бесконечное число раз и всегда в новой точке, согласно 1-му заключению этой второй части. И вторая точка будет находиться на одинаковом расстоянии от первой, третья от второй и т. д. И, проведя линию от первой точки ко второй, и от второй к третьей, получим в круге фигуру с бесконечным числом равных углов, пересекающихся взаимно. И любой из этих углов будет несоизмерим прямому, как это легко доказывается. Следовательно, ни одна часть круга не будет лишена никогда таких углов, и всегда между любыми точками окружности получалось бы бесконечное число таких углов, так что на основе равенства этих углов, равноотстояния их и умножения их до бесконечности можно было бы доказать относительно любой части круга, что ей невозможно быть лишенной такого рода углов. В начертании этих углов и умножении числа этих точек прилежный теоретик может усмотреть удивительный путь, посредством которого из несоизмеримости движений и равномерности их происходит некая – как бы мне лучше сказать? – рациональная иррациональность, регулярная дифформность, униформная неодинаковость и различность, согласное несогласие, и наряду с высшим неравенством, которое уклоняется от всякого равенства, пребывает справедливейший и точнейший порядок. Далее, если предположить вечность движений и вообразить в любой точке конъюнкции мысленное деление, тотчас же становится ясным, что предшествующие конъюнкции не оставляют никакой части круга неразделенной, и что не останется никакой части, которая не делилась бы также и в будущем, и тем не менее в дальнейшем круг не будет делиться нив одной точке, в которой он уже был разделен в прошлом. Таким образом, остается еще бесконечное число точек, в которых не происходит деления, и еще бесконечное число других, которые, согласно 2-му положению этой второй части, находятся на несоизмеримом расстоянии от какой-либо из вышеуказанных. А что любой из вышеупомянутых углов несоизмерим прямому, доказывается так. Пусть o – центр круга и d – точка на окружности, в которой a и b теперь находятся в конъюнкции. И пусть e –первая точка, в которой они по- {56} -том окажутся в конъюнкции, g – вторая и т. д. Проведя, стало быть, хорды, начертим угол deg, о котором я утверждаю, что он несоизмерим прямому. Ведь если провести линии к центру o, получится угол doe, который, согласно заключению 2-му этой второй части, несоизмерим прямому. Следовательно, оба остальных угла этого треугольника doe, взятые вместе, несоизмеримы прямому, ибо вместе с центральным углом около центра o составляют два прямых. И поскольку эти два остальных равны, постольку каждый из них несоизмерим прямому. Следовательно, угол deo несоизмерим прямому. Следовательно, равный ему угол oeg несоизмерим, прямому. Следовательно, весь угол deg несоизмерим прямому. Истинность этого следствия основана на 8-м и 9-м положении X книги Евклида[ii][17]. Заключение 5-е. Если дана какая-либо точка конъюнкции, то такого рода движущиеся тела окажутся в конъюнкции в бесконечно близкой к ней точке и находились уже в конъюнкции в бесконечно близкой к ней точке. Пусть дана точка d. Обозначим другую точку ближе к ней и пусть это будет c. Следовательно, согласно предшествующему заключению, они будут в конъюнкции между c и d. И если вновь обозначить другую точку, вдвое более близкую к точке d, каковая точка пусть будет f, точно так же из того же заключения явствует, что произойдет конъюнкция между d и f, и так до бесконечности. Заключение 6-е. Возможно трем или более движущимся телам, находящимся теперь в конъюнкции, оказаться в конъюнкции в другой раз, причем каждое из них, приближаясь к любому другому из них, движется несоизмеримо с остальными. Пусть a, b и c находятся в точке d. Следовательно, a и b окажутся в конъюнкции в другой раз, вследствие равномерности движений. Они окажутся, следовательно, в конъюнкции в точке e, которая отстоит от точки d на несоизмеримое расстояние, согласно 2-му заключению этой второй части. Следовательно, тогда a совершит один оборот или несколько оборотов с какой-нибудь частью оборота, которая есть дуга de. Аналогично b завершит несколько оборотов с той же частью. Но пути, пройденные a и b, несоизмеримы, а определенное число оборотов соизмеримо опреде- {57} -ленному числу полных оборотов. Следовательно, дуга de, будучи прибавлена к тем и другим, делает пройденные пути несоизмеримыми. Следовательно, возможно, что к соизмеримым величинам будет прибавлена та же (т. е. равная) величина, и суммы станут несоизмеримыми. Например: положим, что a, b и c находятся вместе в точке e. Следовательно, любой из них описал тогда определенное число оборотов плюс дугу de. Но дуга de, прибавленная к неодинаковому числу оборотов, делает суммы несоизмеримыми. Следовательно, путь, пройденный или описанный a, несоизмерим всему пути, пройденному b, и равным образом всему пути, пройденному c. Равным образом, пройденный b несоизмерим пройденному c. Следовательно, если положить, что a, b и c находились в конъюнкции в точке d и вновь будут в конъюнкции в точке e, понятно, что движение любого из них в отношении движения любого другого несоизмеримо. Следовательно, вполне возможно, чтобы их движения были несоизмеримыми и они оказывались в конъюнкции в другом месте. Что и требовалось доказать. Заключение 7-е. Возможно, что три или более движущихся тела, которые находятся теперь в соединении, причем движения их несоизмеримы, никогда не смогут оказаться в другой раз в конъюнкции, так что из одной их несоизмеримости вытекает бесконечное число конъюнкций, а из другой – нет. Пусть, как раньше, a , b и c находятся в точке d. Вспомним то, что было доказано во 2-м заключении первой части, а именно: если весь континуум делить до бесконечности в рациональном отношении, а затем представить себе, что он же делится в другом рациональном отношении, каковые отношения являются простыми друг в отношении друга, то ни одна точка одного деления не есть точка другого деления (за исключением одной, если данный континуум есть круг), хотя такие точки подобного деления и будут совпадать частично, если пропорции имеют общих множителей. Таким же образом по необходимости должно обстоять с пропорциями, построенными на иррациональных отношениях. Ведь если одна пропорция основана на половине двойного [√2̃], а другая – на половине четверного [√4̃], тогда они не {58} являются простыми друг в отношении друга. Но если одна основана на половине двойного [√2̃], а Другая – на половине тройного [√3̃], тогда они являются простыми друг в отношении друга[iii][18]. Следовательно, возможно будет делить континуум до бесконечности в точках, находящихся на несоизмеримых расстояниях, и, тем не менее, ни одна точка одного деления не явится точкой другого деления, кроме разве одной (если континуум есть круг). Следовательно, возможно производить в круге два таких деления, что от точки d по порядку станут начинаться два ряда бесконечно многих чисел, находящихся на несоизмеримых расстояниях, каковые два ряда не будут больше совпадать ни в одной точке. Возможно, следовательно, что все бесконечные точки, отличные от точки d, в которых a и b оказываются в конъюнкции, не будут совпадать с теми, в которых b и c оказываются в конъюнкции. Итак, никогда больше не будут в конъюнкции b и c там, где происходит конъюнкция a и b. Следовательно, a, b и c никогда больше не окажутся в конъюнкции. Например: положим, что a и b, которые теперь находятся в d, затем будут в конъюнкции в e а потом в f и т. д. Тогда d, e, f и т. д. одинаково отстоят друг от друга вследствие равномерности движений. Пусть далее отношение всего круга к дуге de равно половине полуторного отношения [√3̃:̃2̃]. Также b и c, которые теперь находятся в d, пусть соединяются затем в g, потом в h и т. д. И отношение всего круга к дуге dg пусть будет равно половине отношения 4 к 3 [√4̃:̃3̃] Поскольку половина полуторного отношения и половина отношения 4 к 3 суть отношения несоизмеримые, как явствует из книги «Об отношениях отношений», постольку следует, что вышеуказанные деления не имеют общих точек[iv][19]. Следовательно, a, b и c никогда не окажутся больше в конъюнкции и никогда не были в конъюнкции в прошлом. Так же обстоит дело с четырьмя движущимися телами и сколь угодно большим числом их. Нужно принять во внимание, что не следует круг делить в таких точках соответственно отношению скоростей или какому-либо отношению, соизмеримому с ним. Это становится сразу ясным при отношениях рациональных. Ведь если a станет двигаться вчетверо быстрее, чем b, то из заключения {59} 11-го первой части явствует, что круг будет делиться на три, а не на четыре части, посредством точек конъюнкций, и круг будет втрое больше в отношении каждой из этих частей. Заключение 8-е. Если имеется три или более тел, находящихся теперь в конъюнкции, которые все обладают соизмеримыми движениями за исключением одного, чье движение несоизмеримо с остальными, никогда в другом месте и в другой раз не будет их конъюнкции. Пусть a, b и c находятся в точке d круга. Положим, что a и b обладают соизмеримыми движениями. Тогда согласно королларию 10-го заключения первой части ясно, что любая точка, в которой может произойти конъюнкция a и b, находится на соизмеримом расстоянии от точки d, тогда как любая точка, в которой может произойти конъюнкция b и c, находится на несоизмеримом расстоянии от точки d, согласно 2-му заключению этой второй части. Следовательно, ни одна точка, в которой a и b впоследствии окажутся в конъюнкции, не есть та, в которой впоследствии окажутся в конъюнкции b и c. Следовательно, a, b, c никогда больше не окажутся в конъюнкции. Например: положив, что a движется вдвое быстрее, чем b, имеем, согласно 11-му заключению первой части, что a и b никогда не будут в конъюнкции, кроме как в точке d. И поскольку b и c обладают несоизмеримыми движениями согласно условию, постольку, согласно 1-му заключению этой второй части, они никогда не окажутся в конъюнкции в точке d. Следовательно, a, b и c никогда больше не будут в конъюнкции вместе. Таким же образом должна вестись аргументация в отношении прошедшего, что они никогда не были в конъюнкции вместе. Так же должна вестись аргументация и о большем числе движущихся тел. Заключение 9-е. Все три или более движущихся тела либо никогда, либо только один раз, либо бесконечное число раз окажутся в конъюнкции на протяжении всего вечного времени. Возможность того, что они никогда не окажутся в конъюнкции, явствует в отношении обладающих соизмеримыми движениями из 12-го заключения первой части. И то же может случиться с теми, которые обладают несоизмеримыми {60} движениями, как достаточно явствует из 7-го заключения этой второй части. Ведь возможно будет, что точки, в которых a и b находятся в конъюнкции, и точки, в которых b и c находятся в конъюнкции, не совпадают, ни одна, ни несколько. А что на протяжении всего вечного времени они могут оказаться в конъюнкции всего один раз, доказано в двух непосредственно предшествующих заключениях. Что они могут быть в конъюнкции бесконечное число раз, явствует в отношении обладающих соизмеримыми движениями из 14-го заключения первой части, а в отношении обладающих несоизмеримыми движениями – из 6-го заключения этой второй части. Что они не могут быть в конъюнкции на протяжении всего вечного времени дважды или трижды, или какое-нибудь другое целое число раз, доказывается так. Пусть a, b и c находятся в точке d. Затем пусть два оказываются в конъюнкции в точке e и пусть время между двумя конъюнкциями будет k. Буквой g обозначим вторую точку, которая отстоит от точки e на столько же, на сколько e отстоит от точки d. Коль скоро, следовательно, каждое из этих тел движется равномерно, следует, что когда затем пройдет время, равное времени k, тогда a пройдет весь круг столько же раз, сколько и раньше за время k, и вместе с тем дугу такой величины, какова дуга de (или дуга dg). Следовательно, a будет в точке g. На том же основании, вследствие равномерности движений, будет доказано, что b окажется тогда в точке g, равным образом и c. Следовательно, в конце времени, равного времени k, произойдет их третья конъюнкция, и четвертая – в конце такого же времени, и так до бесконечности. И если они имеют соизмеримые движения, это будет происходить в конечном числе точек, и в каждой из них будет бесконечное число конъюнкций. Если же их движения несоизмеримы, это будет происходить в бесконечном числе точек и в каждой из них конъюнкция совершится только один раз. Сказанное явствует из ранее приведенных заключений. Так, стало быть, мера конъюнкций трех или более движущихся тел на протяжении всего времени проходит, можно сказать, от единицы до бесконечности, сводя все числа к единице. Равным образом, и вечное время не может быть {61} разделено на бесконечное множество промежутков времени иначе, как путем одного деления, и не может быть разделено путем конечного числа делений, кроме как на неравные части, хотя это и вполне осуществимо посредством бесконечного числа делений. Заключение 10-е. Если три или более тел имеют несоизмеримые движения, они никогда не окажутся столь близкими, чтобы в другой раз не быть близкими еще более, сколь угодно, до бесконечности. Ибо, если обозначить точку конъюнкции, к примеру, буквой d, [и взять] время, в течение которого a из точки d возвращается в нее же бесконечное число раз, то поскольку времена несоизмеримы, посредством таких повторений они повсюду будут делить одно другое в воображаемых точках, и не останется ничего неразделенными при таком воображаемом делении. Следовательно, в другой раз, когда a окажется в d, будет недоставать небольшого времени для того, чтобы b было также в d. Следовательно, a и b будут на некотором довольно близком расстоянии. И еще в другой раз позднее будет недоставать меньшего времени, чтобы b оказалось в d. Благодаря указанной несоизмеримости, стало быть, a и b тогда окажутся еще ближе, и так до бесконечности. Точно таким образом мы скажем о движущемся теле c в отношении каждого из остальных двух в отдельности. И так же можно будет сказать о скольких угодно телах. Следовательно, тела не будут столь близкими, чтобы в будущем не оказаться еще более близкими. И повсюду, по всему кругу, подобное приближение будет происходить так, как было сказано о конъюнкции двух движущихся тел в 4-м заключении этой второй части. Итак, все тела, обладающие соизмеримыми движениями, имеют определенное расстояние, до которого сближаются, и часто бывают настолько близкими, что не могут уже сближаться больше, – мы говорим при этом о тех, которые никогда не бывают в конъюнкции вместе, как явствовало это из 13-го заключения первой части. Что же касается тел, обладающих несоизмеримыми движениями, этого не вытекает, как только что было сказано. Доказав, стало быть, что движения всех или нескольких планет несоизмеримы (а именно движения каждой из них движениям каждой другой), или же, что ни {62} одно из трех движений не является соизмеримым обоим другим, хотя бы они и были соизмеримы попарно, я утверждаю, что по необходимости, если это так, названные планеты один раз сойдутся в том же градусе, другой раз в той же минуте, и затем в той же секунде, терции, кварте, и так приближаясь до бесконечности, хотя никогда они не окажутся в конъюнкции с пунктуальной точностью. Сказанное справедливо равным образом в отношении любого градуса неба, минуты, секунды, терции и т. д. – так, что один раз тела будут в первой точке Рака, другой – в первой секунде Козерога и т. д. Заключение 11-е. То, что было сказано о конъюнкциях двух или более движущихся тел, с равным основанием применимо к любому другому аспекту, расположению или взаимоотношению. То, чему учит 21-е заключение первой части о соизмеримых движениях, то же самое полагает о несоизмеримых это настоящее заключение. Ведь если два движущихся тела такого рода теперь находятся в конъюнкции, они никогда более не окажутся в конъюнкции в той же точке, как гласит 1-е заключение этой второй части. На том же основании будет доказано, что если они находятся в противостоянии или в любом ином положении, они никогда не будут находиться в таком же отношении, кроме как оказываясь в тех же точках, в которых находятся теперь. И соответственно следует сказать о заключениях 4-м, 5-м, 6-м, 7-м, равно как и о 8-м. Оттого три или более таких тел будут в любое мгновение находиться в таком взаимоотношении, в котором никогда не были до того, и не смогут когда-либо быть в будущем. Сходно и о 9-м заключении, ибо конъюнкция двух и противостояние третьего могут либо случиться за все вечное время лишь однажды (а именно, если движения несоизмеримы), либо бесконечное число раз (если они соизмеримы), либо никогда. Так же будет сказано и о других расположениях или взаимоотношениях. Ибо при предположении несоизмеримости движений и вечности времени хорошо будет рассмотреть, как именно такая констелляция[v][20] (каковой является единственная конъюнкция) происходит на протяжении всего бесконечного времени, и каким образом от века она была необходимой именно {63} в этот момент, без подобной в прошлом или в будущем. При этом не следует искать причины, почему она происходит предпочтительно тогда, а не в другое время, кроме той, что таковы скорости движения и неизменная воля двигателей. И если констелляции являются причинами подлунных действий и эффектов, расположение непрерывно будет такое, что никогда оно не окажется одинаковым в нашем мире. И поскольку важнейшие аспекты связаны с определенным видом вещей, не представляется недопустимым с физической точки зрения, что одна большая конъюнкция планет, которой никогда не было и не будет подобной, производила бы нечто индивидуальное, чему не будет подобного по виду и что начнет быть чем-то новым и невиданным, либо субстанциально, либо акцидентально. Как говорит Плиний о болезни в книге 26-й: «ощутило лицо людей новые и во все века неведомые болезни»[1]1). И возможно, пожалуй, что такой вновь возникший вид никогда не перестанет существовать, если мир будет продолжать существовать вечно, или же, что в другое время прекратится под действием другой констелляции. И так же следует судить о сходных добавочных выводах, которые могут быть сделаны из сказанного. Заключение 12-е. Об одном движущемся теле, которое перемещается несколькими движениями, изложить аналогичное ранее сказанному, применив сказанное о соизмеримых движениях в 22-ом заключении первой части к движениям несоизмеримым. Например: положив, что Солнце перемещается только двумя несоизмеримыми и постоянными движениями (а именно собственным и суточным), допустим, что первая точка Рака будет а. Она ежедневно описывает один и тот же круг, а именно летний тропик. И пусть b будет центр солнечного тела, который в год описывает эклиптику. Пусть далее a и b находятся в точке d, помеченной в неподвижном пространстве; это значит, что a и b находятся в конъюнкции. Я говорю, следовательно, что a и b никогда не окажутся вместе в другой раз в точке d. Это доказывается совершенно аналогично, как было доказано 1-е заключение второй части. Если, следовательно, Солнце вступит в первую точку Рака {64} на каком-нибудь меридиане, оно никогда не вступит и не вступало в другой раз в этот знак в момент, когда Солнце находится на том же меридиане. И не тогда также, когда оно находится на меридиане, отстоящем от первого на соизмеримое расстояние, как доказывается во 2-м заключении настоящей второй части. Существует также бесконечное количество точек в этом круге a, повсюду распределенных, находясь в любой из которых b вступало в знак Рака, и другое бесконечное количество, находясь в любой из которых b в будущем будет вступать в тот же знак Рака. Таким образом, нет столь малой части этого круга, через которую не проходило бы меридиана, находясь на каковом, b одновременно не находилось бы в первой точке Рака, и наоборот: нет такого меридиана, чтобы b, находясь на нем в другое время, не было бы одновременно в первой точке Рака, как было сказано о конъюнкции в 4-м заключении второй части. И то, что было сказано о первой точке Рака, применимо к любой точке на Зодиаке. Отсюда следует, что b ежедневно описывает новый завиток в пространстве, которое воображается неподвижным, – завиток, который оно больше никогда не описывало, и пробегает путь, который никогда раньше не проходило. И так, своим следом (или воображаемым течением) оно продолжает образовывать винтовую линию, уже бесконечную, описанную в прошлом бесконечными завитками, – то описывая от тропика к тропику некие завитки, то вновь иные, возвращаясь, – завитки, которые пересекают первые, идя им навстречу. И, следовательно, в любой точке этих пересечений b оказывается на протяжении вечности дважды, а в любой другой точке либо только один раз, либо никогда. Соответственно, следовательно, такому представлению все пространство неба между двумя тропиками бывает изборождено этим b, образующим из названных завитков фигуру, подобную ткани или сети, распростертой по всему указанному пространству. И такого рода ткань уже за все протекшее бесконечное время была образована из бесконечных завитков, и, тем не менее, ежедневно она образует еще новые, ибо ежедневно образуется новый завиток. Во всем пространстве такого рода нельзя указать какие-либо две точки, между которыми уже бесконечное число раз не было b, и, тем не менее, в этом же самом пространстве {65} имеется бесконечное множество точек, в которых оно никогда не было, или будет, а кроме того, другие бесчисленные, в каждой из которых на протяжении всей вечности оно должно оказаться всего один раз, и еще бесчисленные, в каждой из которых оно должно оказаться два раза на протяжении всего бесконечного времени. И нет ни одной точки, в которой оно могло бы находиться более двух раз. Далее, из вышесказанного сразу же явствует: если b теперь находится в первой точке Рака и на данном меридиане, оно никогда не было так близко к зениту данного горизонта, и вовеки не будет так близко, как теперь. И то же следует сказать об удалении его в первой точке Козерога. Кроме того, если оно станет двигаться по эксцентрику или эпициклу, то в соответствии с этим оно описывает свои завитки, приближаясь к центру мира и удаляясь от него, но всегда, на каком бы меридиане оно не находилось, оно никогда в другой раз не было в точности на таком же расстоянии от центра мира, на каком было, находясь на указанном меридиане, – всегда оказываясь на расстоянии большем или меньшем. Аналогично, если b однажды окажется на долготе, большей чем данный меридиан, оно всегда будет находиться дальше от центра мира, чем будучи на том же меридиане. Притом, поскольку b непрерывно описывает новый завиток, необходимо, чтобы противоположная ему точка, называемая надиром Солнца, непрерывно описывала соответственный новый завиток. Следовательно, и конус земной тени непрерывно совершает новый путь и оттого затемняется некая часть неба, которая никогда раньше не бывала целиком лишена света Солнца. То же самое вытекает из эксцентричности, ибо если b в другой раз находится столь близко к центру мира, что никогда больше не сможет быть столь же близко, и никогда не могло быть столь близко, находясь на том же меридиане, как уже было сказано, то нужно тогда, чтобы конус земной тени простирался на небе столь далеко, как никогда в этой части. И это возможно, несмотря на то, что круг Луны движется иначе, чем круг Солнца, – безразлично, соизмеримы или несоизмеримы их движения. Кроме того, от вышеуказанной несоизмеримости получалось бы, что средний солнечный год содержал бы определенное число дней плюс часть дня, несоизмеримую {66} с целым. Если так, невозможно в точности выразить величину года числами, т. е. составить вечный альманах, или обрести истинный календарь. Теперь по порядку следует перейти к телу, перемещающемуся несколькими движениями. Для примера положим, что Луна перемещается только тремя движениями (а именно суточным, по эксцентрику и по эпициклу), и что два из них несоизмеримы. Тогда согласно 8-му и 11-му заключению второй части мы сказали бы, что Луна всегда находится в таком отношении к центру мира и так обращена к нему, что невозможно ей быть в другой раз в точно таком же отношении. Пусть далее a – центр лунного тела и b – центр его эпицикла, c – центр мира, а d – точка на небе на более близкой долготе. Нанесем линию cd и начертим суточное движение. Допустим, стало быть, что теперь a и b находятся на линии cd. Следовательно, таким же образом, каким было доказано 1-е заключение второй части, будет доказано, что a и b никогда не встретятся вместе на линии cd, ибо всякий раз, когда a будет оказываться на линии cd со стороны c, тогда это a опишет определенное число полных оборотов по малому своему кругу. Аналогично, всякий раз, когда b окажется на линии cd, b совершит определенное число полных оборотов по своему большому кругу. Следовательно, если теперь Луна находится ближе всего к центру мира, т. е. в нижней части эпицикла, на долготе, ближайшей к эксцентрику, невозможно ей в другой раз быть в будущем или прошедшем столь же близкой к этому центру ни на том же, ни на другом меридиане. Следовательно: если теперь Луна диаметрально противоположна Солнцу, находясь в нижней части эпицикла, и Солнце находится на долготе, ближайшей к ее эксцентрику, то затмение Луны таково, что ему невозможно быть большим в другой раз, ни в прошлом, ни в будущем, во веки веков. Это затмение, следовательно, максимальное: такого же не было видано раньше, и не будет видимо впоследствии. И соответственно следует вести доказательство относительно других аспектов Солнца и Луны. Равным образом – если Луна перемещается четырьмя движениями или более. Аналогично следует сказать и о других планетах или любых движущихся телах. И то, что сказано было о величине солнечного года и о сол- {67} с целым. Если так, невозможно в точности выразить величину года числами, т. е. составить вечный альманах, или обрести истинный календарь. Теперь по порядку следует перейти к телу, перемещающемуся несколькими движениями. Для примера положим, что Луна перемещается только тремя движениями (а именно суточным, по эксцентрику и по эпициклу), и что два из них несоизмеримы. Тогда согласно 8-му и 11-му заключению второй части мы сказали бы, что Луна всегда находится в таком отношении к центру мира и так обращена к нему, что невозможно ей быть в другой раз в точно таком же отношении. Пусть далее a – центр лунного тела и b – центр его эпицикла, c – центр мира, а d – точка на небе на более близкой долготе. Нанесем линию cd и начертим суточное движение. Допустим, стало быть, что теперь a и b находятся на линии cd. Следовательно, таким же образом, каким было доказано 1-е заключение второй части, будет доказано, что a и b никогда не встретятся вместе на линии cd, ибо всякий раз, когда a будет оказываться на линии cd со стороны c, тогда это a опишет определенное число полных оборотов по малому своему кругу. Аналогично, всякий раз, когда b окажется на линии cd, b совершит определенное число полных оборотов по своему большому кругу. Следовательно, если теперь Луна находится ближе всего к центру мира, т. е. в нижней части эпицикла, на долготе, ближайшей к эксцентрику, невозможно ей в другой раз быть в будущем или прошедшем столь же близкой к этому центру ни на том же, ни на другом меридиане. Следовательно: если теперь Луна диаметрально противоположна Солнцу, находясь в нижней части эпицикла, и Солнце находится на долготе, ближайшей к ее эксцентрику, то затмение Луны таково, что ему невозможно быть большим в другой раз, ни в прошлом, ни в будущем, во веки веков. Это затмение, следовательно, максимальное: такого же не было видано раньше, и не будет видимо впоследствии. И соответственно следует вести доказательство относительно других аспектов Солнца и Луны. Равным образом – если Луна перемещается четырьмя движениями или более. Аналогично следует сказать и о других планетах или любых движущихся телах. И то, что сказано было о величине солнечного года и о сол- {67} -нечном календаре, применимо к лунному месяцу и лунному календарю, равно как к календарю других планет. Таким образом, вообще справедливо и достоверно, что никакие несоизмеримые движения не могут быть приравнены друг к другу посредством чисел, а, следовательно, и движения планет. И невозможно дать точные таблицы конъюнкций светочей дня и ночи и других планет, равно как противостояний и прочих аспектов этих движений[vi][21]. Это и прочее подобное вытекает из предположения, что все или некоторые движения несоизмеримы. Теперь следует третья часть.
Примечания [1] 1) Плиний, Естественная история XXVI, 1, 1. [i] 16. По нумерации перевода Кампано (см. примечание 5). По современной нумерации – положения 12 и 15 (Начала Евклида. Книги VII –X. Пер. Д.Д. Мордухай-Болтовского, Гостехиздат, 1949, стр. 114 и 117). [ii] 17. См. примечание 16. [iii] 18. По терминологии Орема удвоить, утроить и т. д. отношение значит возвести это отношение в квадрат, куб и т. д. Соответственно взять половину, треть отношения значит извлечь квадратный, кубичный корень и т. д. От удваивания, утраивания и т. д, отношений Орем отличает удваивание, утраивание и т. д. членов отношения. Это составляет основную тему его трактата «Об отношениях отношений» и, как нетрудно видеть, приводит к практическому пользованию дробными показателями. [iv] 19. В трактате «De proportionibus proportionum» Орем доказывал положение, что всякое супрапартнкулярное отношение (т. е. отнощеиие, соответствующее формуле , где n > 1) несоизмеримо с другим супрапартикулярным отношением (гл. 3, заключение 5, л. 21), а в другом месте того же трактата (гл. 1, л. 18) распространял то же правило на корни, извлекаемые из тех же величин.
[v] 20. Орем применяет термин constellatio в том же смысле, что и термин dispositio (расположение), обозначая ими меняющиеся соотношения между различными светилами (планетами), а потому мы предпочитаем оставлять его без перевода (обычное значение слона – «созвездие»). [vi] 21. Ниже приводится параллельное место из «Le Livre du Ciel et du Monde» (fol 44d – 45c = III, 252 – 253), кое в чем дополняющее и разъясняющее текст трактата: «Предположим для примера, что три небесных тела, Сатурн, Юпитер и Марс, перемещаются тремя или сколькими угодно по числу движениями, из которых только одно несоизмеримо с прочими; и что центры этих трех тел находятся в точной конъюнкции в какой-то точке, линии или месте. Я утверждаю, что невозможно этим трем телам на всем протяжении [бесконечного] времени, когда-либо в прошлом или в будущем, находиться в такой же конъюнкции в том или ином месте. И так же обстоит с противостоянием и любым другим аспектом или расположением. Аналогично, если одно и то же небесное тело перемещалось бы тремя или более движениями, и если предполагать, что только одно из этих движений несоизмеримо с прочими, я утверждаю, что при таком предположении подобное тело каждодневно находится в {91} новом расположении и его центр – в таком месте или в такой неподвижной точке, в которых оно никогда не было и не будет, всегда описывая новую линию и делая так постоянно. И коль скоро Солнце перемещается тремя или более движениями, возможно и правдоподобно, как уже сказано, что ни одно из этих движений не является соизмеримым с другими. А отсюда по необходимости следует, что при каждом из этих движений центр солнечного тела оказывается в новой точке, в которой он не был, и конец земной тени – непрерывно в такой точке, в которой он никогда не был и никогда не будет... Далее [2-й случай): чем дальше Солнце от Земли, тем больше становится земная тень и тем дальше простирается она в небе. И благодаря вышеуказанной несоизмеримости может случиться, что Солнце, находясь на меридиане, будет удалено от Земли настолько, что никогда ни в прошлом, ни в будущем не окажется столь же удаленным на том же меридиане. Стало быть, и земная тень имеет такую длину и настолько простирается в небе в этой части, что никогда ни в прошлом, ни в будущем не окажется подобной... И возможная несоизмеримость движений неба Луны по отношению к этой тени делает наше заключение еще более правдоподобным. Далее [3-й случай]: если это так, и если бы случилось, что на данном меридиане Луна находилась бы в наивозможной близости к Земле, в которой она может находиться в случае затмений, и если бы ока находилась в прямом противостоянии с Солнцем, в точке, называемой надиром Солнца, – что возможно, – тогда произошло бы наибольшее лунное затмение из возможных. И если некоторые движения Луны и Солнца несоизмеримы, что, как сказано, правдоподобно, то оказалось бы невозможным, чтобы когда-либо в прошлом или в будущем произошло столь же большое лунное затмение. Далее, предположим, что Луна находится от Солнца на самом дальнем расстоянии, которое требуется для того, чтобы происходило ее затмение. Тогда, по причине вышеуказанной несоизмеримости, которая правдоподобна, Солнце и Луна никогда не были и не будут столь же далеко друг от друга, когда они светят. И, следовательно, выходит, что тень Луны на небе так велика и так длинна, как никогда в прошлом и никогда в будущем, ибо Луна образует на небе тем большую тень, чем дальше она находится от Солнца». К этому примыкает то, что говорится в трактате Орема «Об отношениях отношений» с отсылкой к другому сочинению («...многочисленные, прекрасные заключения, которые я систематизировал в другом месте»). Здесь приведены такие положения: 1. Если полное затмение Луны произошло однажды, невозможно, чтобы произошло совершенно такое же. 2. Если две планеты находятся в точной конъюнкции на определенной долготе и широте, они никогда вовеки не окажутся в конъюнкции. 3, Если три планеты однажды оказались в конъюнкции на определенной долготе так, что оказываются вместе в то же мгновение (sint simul in eodem indivisibili), невозможно им (даже если бы они двигались вечно) вновь ока- {92} -заться в конъюнкции, и если им предстоит оказаться в конъюнкции, чтобы это происходило больше, чем один раз. 4. В любое мгновение отношение между небесными светилами должно быть таково, что невозможно им в будущем и в прошлом когда-либо находиться в таком же соотношении и, следовательно, в любое мгновение будет такая констелляция, которой никогда не было раньше и которой никогда вовеки не будет впоследствии.
|
|
БИБЛИОТЕКА ХРОНОСА |
|
Редактор Вячеслав РумянцевПри цитировании всегда ставьте ссылку |
